Rezolvați polinoame de grad mai înalt

Când slăbirea polinoame de grad mai mare are același scop ca o ecuație pătrată sau liniară pentru a le împărtăși cât mai mult posibil în factori și apoi folosiți factorii la 0 pentru a găsi soluția la polinomului at = y. Există multe abordări pentru rezolvarea polinomilor cu un termen $x$

conținut

Metodă

Metoda 1recunoașteți factorii
Metoda 2raționalizarea zerourilor și divizării sintetice

Căutați zerouri raționale
Polinomul

Sfaturi
Avertismente

3{ displaystyle x ^ {3}}sau mai mare. Este posibil să aveți nevoie să utilizați mai multe pentru a afla care funcționează pentru sarcina dvs.

metodă

Metoda 1
Recunoașteți factorii

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele de grad mai înalt Pasul 1

Desfaceți factorii comuni din toți termenii. Dacă fiecare termen al polinomului are un factor comun, atunci trebuie doar să-l lipiți de sarcină. Acest lucru nu este posibil cu toate polinomii, dar este o abordare bună de luat în considerare.

Exemplul 1 Rezolvați în polinom ${ displaystyle 2x ^ {3} + 12x ^ {2} + 16x = 0}$ la x.
Fiecare termen este divizibil de 2x, deci puneți-l astfel:
${ displaystyle (2x) (x ^ {2}) + (2x) (6x) + (2x) (8)$
${ displaystyle = (2x) (x ^ {2} + 6x + 8)}$
acum rezolvi ecuația patratică folosind formula pătrată sau prin ruperea acesteia în factori:
${ displaystyle (2x) (x + 4) (x + 2) = 0}$
Soluțiile sunt la 2x = 0, x + 4 = 0 și x + 2 = 0.
Soluțiile sunt x = 0, x = -4 și x = -2.

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de grad 2

Localizați polinoamele care acționează ca ecuații patrate. Probabil deja știți cum să faceți polinoame de gradul al doilea în formă

{ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}

rezolvă. Se pot rezolva polinomi de grad mai înalt în același mod, dacă sunt în formă

{ displaystyle ax ^ {2n} + bx ^ {n} + c}

stativ. Iată câteva exemple:

Exemplul 2: ${ displaystyle 3x ^ {4} + 4x ^ {2} -4 = 0}$
Lasse ${ displaystyle a = x ^ {2}}$ fie:
${ displaystyle 3a ^ {2} + 4a-4 = 0}$
Rezolva ecuația patratică cu orice metodă:
${ displaystyle (3a-2) (a + 2) = 0}$ astfel încât a = -2 sau a = 2/3
Set ${ displaystyle x ^ {2}}$ pentru: ${ displaystyle x ^ {2} = - 2}$ sau ${ displaystyle x ^ {2} = 2/3}$
x = ± √ (2/3). Cealaltă ecuație, ${ displaystyle x ^ {2} = - 2}$ x5+7x3-9x=0{ displaystyle x ^ {5} + 7x ^ {3} -9x = 0}Nu urmați acest model, însă rețineți că puteți exclude un x:
${ displaystyle (x) (x ^ {4} + 7x ^ {2} -9) = 0}$
Acum puteți ${ displaystyle x ^ {4} + 7x ^ {2} -9}$ cum se tratează o ecuație cuadratoare așa cum este prezentat în Exemplul 2.

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de grad 3

Împărțiți sume sau diferențe ale puterilor treia. Aceste cazuri speciale sunt greu de descompus în factori, dar au caracteristici care fac sarcina mult mai ușoară:

Suma a treia putere: Un polinom în formă ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$ pot fi închise ${ displaystyle (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2}}}$ factoring.
Diferențele dintre puterile treia: Un polinom în formă ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$ pot fi închise ${ displaystyle (a-b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2}}}$ factoring.
Rețineți că partea parțială a rezultatului nu poate fi luată în considerare.
Rețineți că ${ displaystyle x ^ {6}}$ x9{ displaystyle x ^ {9}}și x înaltă de orice putere divizibilă de 3, toate se încadrează în aceste modele.

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele de grad mai înalt Pasul 4

Căutați modele pentru a găsi mai mulți factori. Polinomii care nu arată ca exemplele de mai sus nu pot avea factori evideni. Dar, înainte de a încerca metodele de mai jos, puteți încerca să căutați un factor de doi termeni (cum ar fi "x + 3"). Aranjarea termenilor în ordine diferite și excluderea unor părți ale polinomului poate ajuta la găsirea unora. Această abordare nu este întotdeauna fezabilă, așa că nu petreceți prea mult timp încercând-o dacă nu este adecvat un factor comun.

Exemplul 4: ${ displaystyle -3x ^ {3} -x ^ {2} + 6x + 2 = 0}$
Acest lucru nu are un factor evident, dar puteți factoriza primele două termeni și puteți vedea ce se întâmplă:
${ displaystyle (-x ^ {2}) (3x + 1) + 6x + 2 = 0}$
Acum faci ultimii doi termeni (6x + 2) și urmărești un factor comun:
${ displaystyle (-x ^ {2}) (3x + 1) + (2) (3x + 1) = 0}$
Acum, rescrieți ecuația utilizând factorul comun 3x + 1:
${ displaystyle (3x + 1) (- x ^ {2} +2) = 0}$

Metoda 2
Raționalizarea zerourilor și divizării sintetice

1
Încercați să găsiți o rădăcină a polinomului. Divizarea polinomului este o modalitate utilă de a factoriza polinoamele de ordin superior, dar funcționează numai dacă cunoașteți deja unul dintre zerouri. Puteți afla aceste lucruri prin factorizarea așa cum este descris mai sus, sau ați putea fi specificate în sarcină. Dacă da, atunci mergeți direct la Instrucțiuni pentru divizia polinomiale. Dacă nu cunoașteți o rădăcină, mergeți la pasul următor și găsiți unul.
- Rădăcina unui polinom este valoarea lui x, pentru care y = 0. Un zero c știind, de asemenea, vă oferă un factor al polinomului (x - c).

Căutați zerouri raționale

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de gradul 6

Notați factorii termenului constant. Testarea "zerourilor raționale" este o modalitate potențial Găsiți valori pentru zerouri. La început scrieți toți factorii constantă pe (termenul fără variabilă).

exemplu: Polinomul ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ a avut termenul constant 9. Factorii ei sunt 1, 3 și 9.

Imaginea intitulată Rezolvarea polinoamelor de grad înalt Pasul 7

Notați factorii primului coeficient. Acesta este coeficientul din primul termen al polinomului atunci când este comandat de la termenul maxim de putere la cel mai mic. Notați toți factorii acestui număr într-o linie separată.

Exemplu (cont.): ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ are un prim coeficient de 2. Factorii săi sunt 1 și 2.

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad înalt de gradul 8

Găsiți posibile zerouri. Dacă polinomul are o rădăcină rațională (pe care nu o poate avea), trebuie să fie egală ± (un factor al constantei) / (un factor al primului coeficient). Numai un singur număr c în această formă poate fi în factor (X-c) din polinomul original.

Exemplu (cont.): Toate rădăcinile raționale ale acestui polinom sunt în forma (1, 3 sau 9) împărțite la (1 sau 2). Posibilele zerouri includ ± 1/1, ± 1/2, ± 3/1, ± 3/2, ± 9/1 sau ± 9/2. Nu uitați "±": fiecare dintre aceste opțiuni ar putea fi pozitivă sau negativă.

Imaginea intitulată Rezolvarea polinoamelor de grad mai înalt Pasul 9

Verificați zerouri până când găsiți unul care se potrivește. Niciuna dintre acestea nu este garantată a fi o rădăcină, deci trebuie să le puneți în polinomul original.

exemplu: (1/1 = 1) este posibil zero. Dacă se dovedește a fi zero, ar trebui să introduceți 0 în polinom.
${ displaystyle 2 (1) ^ {3} + (1) ^ {2} -12 (1) + 9 = 2 + 1-12 + 9 = 0}$ astfel încât se confirmă faptul că 1 este zero.
Aceasta înseamnă că polinomul este factorul (x-1).
Dacă nici una dintre posibilități nu se potrivește, polinomul nu are rădăcini raționale și nu poate fi descompus în factori.

polinomul

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de gradul 10

Configurați o sarcină pentru divizarea polinomului. Divizarea polinomului este o modalitate de a găsi toți factorii unui polinom dacă știți deja unul dintre ei. Pentru ao configura, scrieți o rădăcină a polinomului. Desenați o linie verticală spre dreapta și apoi scrieți coeficienții polinomului dvs. de la exponentul cel mai înalt la cel mai mic. (Nu trebuie să scrieți termenii singuri, ci doar coeficienții acestora.)

Atenție: Este posibil să fie necesar să scrieți termenii cu un coeficient de zero. De exemplu, scrieți polinomul ${ displaystyle x ^ {3} + 2x}$ la ${ displaystyle x ^ {3} + 0x ^ {2} + 2x + 0}$ a.
Exemplu (cont.): Verificarea zerourilor de mai sus ne-a arătat că polinomul ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ zero are 1.
Scrieți zero 1, urmată de o linie verticală, urmată de coeficienții polinomului:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 end {pmatrix}}}$

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele de grad mai înalt Pasul 11

Scrieți primul coeficient în jos. Copiați primul coeficient în linia de soluție. Lăsați o linie între cele două numere pentru calcule ulterioare.

Exemplu (cont.): Scrieți 2 în linia de soluție:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 2 {sfârșit {pmatrix}}}$

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de gradul 12

Înmulțiți acest număr cu zero. Scrieți soluția direct în următorul termen, dar nu în linia de soluții.

Exemplu (cont.): Înmulțiți 2 cu zero, 1 și veți reveni 2. Scrieți aceste 2 în coloana următoare, dar în al doilea rând și nu în rândul de soluție:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 2 2 end {pmatrix}}}$

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de gradul 13

Adăugați conținutul celei de-a doua linii și obțineți următoarea parte a soluției. Cea de-a doua coloană de coeficienți conține acum două numere. Adăugați-le și scrieți rezultatul în linia de soluție direct sub ele.

Exemplu (cont.): 1 + 2 = 3
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 2 23 {sfârșit {pmatrix}}}$

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de grad 14

Se multiplică rezultatul cu zero. După cum ați făcut mai devreme, multiplicați ultimul număr în linia de soluție cu zero. Scrieți soluția sub următorii coeficienți.

Exemplu (cont.): 1 x 3 = 3:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 23 23 {sfârșit {pmatrix}}}$

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de gradul 15

Găsiți suma din următoarea coloană. Ca și înainte, adăugați cele două numere în coloană și scrieți rezultatul în linia de soluții.

Exemplu (cont.): -12 + 3 = -9:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 23 23-9 end {pmatrix}}}$

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de grad 16

Repetați acest proces până ajungeți în ultima coloană. Ultimul număr din linia de soluție va fi întotdeauna zero. Dacă obțineți un rezultat diferit, verificați-vă activitatea pentru erori.

Exemplu (cont.): Multiplicați -9 cu zero 1, scrieți soluția sub ultima coloană și apoi verificați dacă suma din ultima coloană este zero:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 23-9 23-90 end {pmatrix}}}$

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de gradul 17

Găsiți un alt factor folosind linia de soluție. Acum ai polinomul prin termen (x-c) divizat, unde c este factorul. Linia de soluție vă indică coeficientul fiecărui termen în soluția dvs. Partea cu x are un exponent în fiecare termen unul mai profund se află direct deasupra acestuia ca termenul original.

Exemplu (cont.): Linia de soluție este 2 3 -9 0, dar puteți ignora zero la sfârșit. Deoarece primul termen al polinomului original este a ${ displaystyle x ^ {3}}$ primul termen al soluției dvs. este cu un grad inferior: ${ displaystyle x ^ {2}}$ 2x2{ displaystyle 2x ^ {2}}Repetați acest proces și obțineți soluția ${ displaystyle 2x ^ {2} + 3x-9}$ 2x3+x2-12x+9{ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}la ${ displaystyle (x-1) (2x ^ {2} + 3x-9)}$ factorizata.

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de grad 18

Repetați dacă este necesar. Ați putea să vă factorizați soluția în părți mai mici folosind această metodă de divizare polinomială. Sau poate puteți folosi o metodă mai rapidă pentru a finaliza sarcina. De exemplu, dacă aveți o expresie pătratică, puteți să-l factorizați în termenii formulei pătrate.

Amintiți-vă, pentru a începe diviziunea polinomială, trebuie să știți deja un zero. Utilizați din nou rădăcinile raționale pentru a le obține. Dacă niciuna dintre posibilitățile pentru zerouri raționale nu dă un rezultat corect, această expresie nu poate fi descompusă în factori.
Exemplu (cont.) Aveți factorii (x-1)(2x2+3x-9){ displaystyle (x-1) (2x ^ {2} + 3x-9)}
găsit, cel de-al doilea factor poate fi descompus în continuare. Încercați ecuația pătrată, obișnuită factorizare sau diviziune polinomială.
Soluția finală este (x-1)(x+3)(2x-3){ afișaretip (x-1) (x + 3) (2x-3)}
Sfaturi
- Termenii reducerea la zero și soluţii toate se referă la valorile lui x care fac f (x) = 0. Ele pot fi folosite interschimbabil.
- Formulele cubice și quartice, asemănătoare cu formula pătrată, sunt mult mai complicate și nu sunt adesea folosite, cu excepția computerelor. Polinomii de gradul 5 și superior nu au o soluție generală utilizând metode simple algebrice, dar câteva exemple pot fi împărțite în factori care utilizează abordările de mai sus.
- Regula de semnare a lui Descartes nu vă poate da răspunsul, dar poate prezice câte soluții distincte și reale există. Urmați acești pași pentru a afla dacă ați găsit tot felul de soluții:
  Ordonați polinomul de la cel mai înalt grad la cel mai mic grad:
  ${ displaystyle x ^ {5} -x ^ {4} -2x ^ {2} + x + 1}$
  Ignorați termenii și notați doar semnele lor (pozitive sau negative)
  +--++
  Numărați de câte ori sa schimbat semnul de la + la - sau invers, de la stânga la dreapta:
  În seria + - ++ se schimbă de două ori.
  Numărul de soluții reale este oricare egal cu acest număr sau egal cu numărul minus 2n, unde n este un număr întreg.
  În acest exemplu ar putea exista 2 soluții sau 0.
  Într-o altă sarcină teoretică, în care semnele se schimbă de șapte ori, numărul de soluții este de 7, 5, 3 sau 1.

avertismente

Dacă nu obține un zero, imaginar (și de a lucra pe o sarcină în zerourile imaginare de sens), atunci nu uitați că unul va fi la acest număr și numărul său conjugat la zero. Dacă (x-3i) este zero, este de asemenea (x + 3i).

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit