Conteaza pe polinoame

În matematică, un polinom este o expresie în care se adaugă sau se scad "termeni". Termenii constau din constante, variabile și coeficienți, de exemplu 4, -10x și 3x³

conținut

Metodă

Metoda 1configurați polinomul
Metoda 2factorizați trinomiali
Metoda 3determinați zerouri de polinomiale
Metoda 4rezolvați polinoamele mai dificile
Metoda 5cu un calculator grafic

Sfaturi
Avertismente

toți termenii. Un polinom constă din orice număr finit (adică nu infinit) de termeni care sunt adăugați, dar fără exponenți negativi (x^-3), Diviziune prin variabile (1 / x) sau rădăcini de variabile. Rezolvarea polinomilor înseamnă de obicei că încercăm să aflăm în ce puncte x polinomul devine zero.

metodă

Metoda 1
Configurați polinomul

Imaginea cu titlul Rezolva polinoame Pasul 1

Sortați termenii în funcție de exponenții lor. Cel mai bine este să sortați termenii astfel încât termenul cu cel mai mare exponent să fie primul, apoi cel de-al doilea cel mai mare exponent, apoi al treilea cel mai mare, etc. De exemplu, -1 + 3x² - x⁵ ar trebui să fie recurs la - x⁵ + 3x² - în primul rând

Când un termen este scăzut, acesta trebuie să fie negativ dacă este mutat, chiar dacă este vorba de început. Notați în exemplul anterior că - x⁵ că este corect, pentru că a fost scăzut. De aceea rămâne negativă.

Image cu titlul Rezolva polinoame Pasul 2

Fixați coeficienții egali. Uneori există un număr care apare în fiecare termen și îl puteți exclude pentru a simplifica ecuația înainte de ao rezolva. De exemplu, în expresia 2x² + 4x - 12 fiecare termen poate fi împărțit cu două. "Strângeți" cele două scriind o expresie care arată mai simplă, dar este de fapt aceeași: 2 * (x² +2x - 6). Acest lucru funcționează numai cu o divizie.

Pentru a vă verifica factura, puteți multiplica fiecare termen cu două. Ar trebui să obțineți aceeași expresie ca la început din nou. 2x² + 4x - 12 = (2 * x²) + (2x 2x) - (2 x 6)
Acest lucru funcționează și cu variabilele. De exemplu, 3x² * (x + 3) = 3x³ + 9x².
Decupați întotdeauna cel mai mare divizor posibil. Dacă expresia dvs. este de 10 ori⁵ + 20x³ este, atunci nu numai să excludem cele două, dar 10x³.

Image cu titlul Rezolva polinoame Pasul 3

Luați în considerare dacă puteți rezolva polinomul. Amintiți-vă că un polinom constă în orice număr finit de termeni adăugați, dar fără exponenți negativi (x^-3), Diviziune prin variabile (1 / x) sau rădăcini de variabile. Dacă unul dintre termeni este, atunci expresia nu este un polinom și aveți nevoie de alte metode pentru a rezolva ecuația.

Polinomii cu exponenți mai mari de patru sunt incredibil de greu de rezolvat manual, dar puteți utiliza un calculator de grafic.
Dacă ați ordonat corect polinomul, atunci se află în așa-numitul "formular standard".

Image cu titlul Rezolva polinoame Pasul 4

Câțiva termeni matematici importanți. Este aproape imposibil să rezolvăm sarcini polinomiale dacă nu vă amintiți semnificația cuvintelor. Câțiva termeni importanți sunt:

termen: O unitate în polinom care constă fie din constante, variabile, fie din ambele. Exemplu: 5, x, 3t, 15y³.
polinom: Un număr de termeni care se adaugă sau se scad.
separator: Un număr înmulțit cu un număr formează un număr diferit. De exemplu, separatoarele de 10 sunt egale cu 2, 5, 1 și 10, deoarece fiecare număr poate fi o "parte" de 10. Variabilele pot fi, de asemenea, divizoare, de exemplu, divizoarele de 10x sunt 2, 5, 1, 10 și x.
grad: Cea mai mare putere a unei variabile într-un polinom. De exemplu, x⁵ + 3x + 55 un "polinom de gradul cinci".
trinomului: Un polinom al celui de-al doilea grad, numit pentru că nu poate avea mai mult de trei termeni - una la a doua putere, una la prima și una fără o variabilă. Exemplu: 2x² + x + 12.
binom: Un polinom de gradul I, cum ar fi x + 9. Acestea sunt "blocurile de construcție" ale polinomilor, deoarece multe polinoame complexe pot fi descompuse într-un număr de binomiali.

Metoda 2
Factorizați trinomiali

Imaginea cu titlul Rezolvați polinoamele Pasul 5

Simplificați expresia unui trinomial. Trinomi (niciun termen nu are un exponent mai mare decât 2, de exemplu x², 3x², etc) sunt cele mai comune polinoame de rezolvat, și adesea cele mai simple. Trebuie să găsiți cei doi termeni mai mici care alcătuiesc Trinomul. În această secțiune vom fi exemplul x² + 9x - 20 ia în considerare.

Imaginea cu titlul Rezolvarea polinoamelor Pasul 6

Trinomii pot fi simplificați la produsele binomiale. Pentru a rezolva ecuația, trebuie să ușurați. Putem descompune cu ușurință trinomialele în două binomiale (nu termeni cu exponent mai mare de 1, cum ar fi x, 5x, etc.) care se înmulțesc împreună. Pentru a înțelege cum funcționează acest lucru, gândiți-vă la ZIAE. ZIAE (primul, interiorul, exteriorul, sfârșitul) reprezintă ordinea în care termenii se înmulțesc împreună. De exemplu, dacă vrem să înmulțim cele două binomiale (x + 3) și (x + 2):

(X + 3) (x + 2)
în primul rând: Cele două "x-uri" vin primele.
- x * x = x²
interior: "3" și "x" se află în interiorul expresiei
- 3 * x = 3x
în afara: "2" și "x" sunt în afara
- x * 2 = 2x
end: "3" și "2" sunt ultimele două numere din binomiale
- 3 * 2 = 6
Dacă adăugăm totul, obținem polinomul nostru: x² + 3x + 2x + 6.
Simplificați expresia adăugând și scăzând termeni de grad egal: x² + 5x + 6

Imaginea cu titlul Rezolva polinoame Pasul 7

Determinați divizorii unui trinomial prin "inversarea" multiplicării. Majoritatea trinomilor pot fi scrise ca două binomi separate prin "inversarea" procesului ZIAE. De obicei, trebuie să încercați de câteva ori, dar există și trucuri. Fiți atenți la modul în care ZIAE a lucrat în ultima frază:

Primul termen (x²) este produsul unei multiplicări între primele două summe.
Al doilea termen (x) este suma a două summands, calculul interior și exterior.
Al treilea termen (-6) este produsul multiplicării ultimelor două numere.
Dacă ultimul număr este negativ, atunci unul dintre termeni trebuie să conțină un număr negativ.
Ar putea fi util să setați mai întâi domeniul de activitate al sarcinii și apoi să completați spațiile libere. De exemplu: x² + x - 6 = (__ +/- __) (__ + / -__)

Imaginea cu titlul Rezolvarea polinoamelor Pasul 8

Determinați primele două intrări în paranteze respective. Ne uităm la exemplu x² + x - 20 în fiecare pas. Pentru a determina primele două intrări, gândiți-vă la cele două numere pe care le puteți multiplica până la primul termen, x², pentru a primi. Începeți cu cea mai simplă opțiune. În acest caz, cei mai simpli termeni care sunt x² rezultat, "x" și "x".

Scrieți rezultatele în formula noastră: (x + / -__) (x +/- __)
Rețineți că un număr înmulțit de el însuși este un număr pătrat.

Imaginea intitulată Rezolvați polinoamele Pasul 9

Determinați care două numere înmulțite împreună dau ultimul număr. În acest caz, trebuie să știm ce perechi de numere rezultă în 20 atunci când se înmulțesc împreună. Gândiți-vă la toate variantele posibile. Pentru 20 avem două perechi posibile:

-10 * 2 = -20
10 * -2 = -20
-4 * 5 = -20
4 * -5 = -20
Pentru expresii complexe puteți folosi și numere zecimale (-3 * 6,6666), dar aceste sarcini trebuie rezolvate cu un calculator grafic deoarece este aproape imposibil de rezolvat prin ghicirea lor.

Imaginea cu titlul Rezolva polinoamele Pasul 10

Alegeți perechea care dă "adăugat" termenul mediu. Coeficientul este numărul înainte de x. În acest caz, deoarece nu există un număr, acesta este automat 1 (x * 1 = x). Amintiți-vă că termenul de mijloc a fost suma expresiilor exterioare și interioare. Deci găsiți perechea care dă termenul de mijloc al polinomului. În acest caz, doar -4 + 5 = 1. Deci, trinomul nostru simplificat este: (X-4) (x + 5)

Semnele pozitive înseamnă adunare, scăderea numerelor negative.
Sfat pentru avansați: Acordați atenție și celuilalt termen în calcul. De exemplu, dacă primul nostru termen este de 3 ori² este, putem obține (3x-4) (x + 5). Dar asta nu este adevărat, pentru că acum numerele noastre interioare nu se adaugă la numărul corect: 15 - 4 = 11. Trebuie să încercăm noi divizori de 20.

Image cu titlul Rezolva polinoame Pasul 11

Utilizați ZIAE pentru a vă verifica factura. Pentru a verifica exemplul nostru:

(X-4) (x + 5)
în primul rând: x * x = x²
interior: -4 * x = -4x
în afara: x * 5 = 5x
end: -4 * 5 = -20
Adăugați totul pentru a obține polinomul: x² - 4x + 5x - 20.
Simplificați aceiași termeni: x² + x - 20
Prin urmare, știm că am luat în considerare corect polinomul, pentru că ne-am întors la polinomul nostru inițial când sa multiplicat.

Image cu titlul Rezolva polinoame Pasul 12

Practica. Există multe polinoame diferite, iar unele sunt mai dificile și unele mai ușoare. Încercați următoarele polinoame și vedeți dacă se potrivesc cu rezultatele obținute.

simplu: x² + 4x + 3.
- rezultat (X + 1) (x + 3)
înseamnă: x² - 9 + 18.
- rezultat (X-3), (x-6)
dificil: 4x² - 2x -6
- rezultat (2x 3) (2x + 2)

Metoda 3
Determinați zerouri de polinomiale

Imaginea cu titlul Rezolva polinoamele Pasul 13

Amintiți-vă că sunteți în căutarea de zerouri. Problema ar putea fi "Determinați locurile în care polinomul devine zero", "Care sunt rădăcinile polinomului?" sau pur și simplu "rezolva ecuația polinomială". Urmați instrucțiunile din Partea 1 pentru a factoriza polinomul înainte de ao seta egală cu zero pentru a continua. În această secțiune vom examina exemplul 3x (2x - 4) (x + 5) = 0.

"Zero-urile" unui polinom sunt locurile unde devine zero. Ei au acest nume, deoarece ele sunt punctele în care graficul ecuației intersectează axa x (linia orizontală în axbox).

Imaginea intitulată Rezolvați polinoamele Pasul 14

Determinați zerourile fiecărui factor al ecuației. Până acum, ecuația noastră are câteva părți care formează toate ecuațiile "mini". Deoarece multiplicarea cu zero se întoarce la zero, putem separa termenii și le putem rezolva unul câte unul. Acest lucru ne oferă trei ecuații "mini".

Ecuația A) 3x = 0
Ecuația B) 2x - 4 = 0
Ecuația C) x + 5 = 0

Imaginea cu titlul Rezolva polinoame Pasul 15

Rezolvați fiecare ecuație după "x". Soluția la una dintre ecuații este unul dintre numerele care întregul polinom la zero. Pentru a face acest lucru, trebuie să modificați ecuația astfel încât "x" să stea singură pe o parte a semnalului egal. Când faci operațiile aritmetice, trebuie să te asiguri că faci tot ce faci cu o parte și cu cealaltă parte.

Ecuația A) Elimină diviziunea 3 după diviziune: 3x / 3 = 0/3.
- x = 0
Ecuația B) 2x - 4 + 4 = 0 + 4
- 2x / 2 = 4/2
- x = 2
Ecuația C) x + 5 - 5 = 0 - 5
- x = -5
Acestea sunt zerourile!

Imaginea cu titlul Rezolvarea polinoamelor Pasul 16

Puneți rezultatele în ecuația inițială pentru a vă verifica factura. Acesta este un mod rapid și nepotrivit pentru a vă verifica rezultatele. Pentru a face acest lucru, înlocuiți zerouri pentru "x" și asigurați-vă că întreaga ecuație este zero.

Dacă x = 0, atunci ecuația devine (3 * 0) (2 * 0 - 4) (0 - 5) = 0
- (0) (- 4) (- 5) = 0
- 0 = 0
Rezultatul este corect. Verificați și celelalte zerouri.

Metoda 4
Rezolvați polinoamele mai dificile

Imaginea cu titlul Rezolva polinoame Pasul 17

Asigurați-vă că ecuația este complet simplificată. Dacă puteți reduce un polinom complicat la o combinație de trinomială și binomială, aveți o șansă bună să o rezolvați. De exemplu, vedeți (x-5) (x² + x - 20) dificilă, dar o puteți rezolva tratați separat cele două părți.

Simplificați exponenții, cum ar fi x⁴, poate fi considerat (x²)² care le pot face mai ușor de rezolvat.
- Exemplu: x⁴ + 2x² + 4 = (x² + 2) (x² + 2)

Recunoașteți ecuațiile care constau în "diferența a două numere cubice". Dacă vedeți un număr cub care este scăzut de la un alt număr cubic, cum ar fi x³ - 8, există o scurtătură către soluție. Fie primul număr de cub a³ iar a doua b³. În exemplul nostru a = x și b = 2 (da 2³ = 8). Apoi puneți numerele în această ecuație (a - b) (a² + de la + b²) = a³ - b³.

Pentru exemplul nostru, atunci x³ - 8 = (x - 2) (x² + 2x + 8).
Dacă doriți să aflați de unde provine această formulă, uitați-vă la ea această pagină pe.

Imaginea intitulată Rezolvarea polinoamelor Pasul 19

Utilizați formula brută. Aceasta funcționează numai pentru polinomii de gradul doi, dar este un instrument inestimabil pentru găsirea zerourilor dificile fără un calculator grafic. În formula soluției patrate, puteți pune coeficienții polinomului într-o formulă și obțineți zerouri.

Metoda 5
Cu un calculator grafic

Imaginea intitulată Rezolvați polinoamele Pasul 20

Utilizați un calculator de grafic pentru a determina zerourile pentru polinoamele dificile. Polinomii cu exponenți înalți, puteri ciudate sau coeficienți de neevitat ar putea fi necesari pentru a fi rezolvați prin reprezentarea grafică. Calculatoarele grafice pot determina automat zerourile. Există o varietate de moduri de a face acest lucru, dar cel mai simplu este prin caracteristica "zeroing" încorporată.

Image cu titlul Rezolva polinoame Pasul 21

Introduceți polinomul în calculatorul dvs. De obicei, funcționează cu Y = _____ sau f (x) _____. Lipiți polinomul în spațiu.

Imaginea cu titlul Rezolvarea polinoamelor Pasul 22

Uită-te la grafic. Rezultatul este o curbă reprezentând polinomul pentru fiecare valoare a variabilei "x".

Imaginea intitulată Rezolva polinoamele Pasul 23

Alegeți "zeroare". Pentru cele mai populare calculatoare Texas Instruments, îl puteți găsi sub "2nd" -> "CALC". Selectați opțiunea "Zeroing". Alte calculatoare de grafică ar putea numi "zeroarea" sau "calculul zerourilor".

Imaginea intitulată Rezolvați polinoamele Pasul 24

Selectați puncte la stânga și la dreapta pentru zero. Veți vedea un punct care clipește pe grafic. Utilizați tastele săgeți ale calculatorului pentru a muta punctul din stânga unde graficul dvs. pare să se intersecteze cu axa x. Alegeți acest punct. Repetați procesul când vi se solicită să specificați un punct în partea dreaptă.

Calculatorul dvs. vă solicită să specificați aceste puncte.
Nu alegeți întregul grafic - măriți în zonele în care graficul pare să intersecteze axa x și alegeți acele puncte.

Imaginea intitulată Rezolva polinoamele Pasul 25

Asigurați-vă că verificați punctele în care curba taie aproape axa. Chiar dacă curba atinge doar axa x, ea se consideră zero. Curba nu trebuie să traverseze axa, doar să o atingeți.

Aceasta poate fi o modalitate bună de a vă verifica munca după ce ați rezolvat manual sarcina. Testați fiecare punct pe care l-ați găsit ca o soluție pentru a vă asigura că este corect.

Sfaturi

Nu vă faceți griji dacă obțineți alte variabile, cum ar fi t, în sarcină sau dacă polinomul este setat egal cu f (x) în loc de 0. Când vi se solicită zerouri, tratați-le ca orice altă sarcină.
Când lucrați, amintiți-vă ordinea operațiilor - mai întâi parantezele, apoi multiplicările și divizările și, în final, adăugările și scăderile.

avertismente

Polinomul trebuie să fie în forma standard descrisă mai sus.
Realizați întotdeauna aceleași operații matematice pe ambele părți ale ecuației.
Notați rezultatul dacă sunteți întrebat într-o activitate.
Atrageți cu atenție punctele din grafic.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit