DifiTsi.com

Calculați derivații

Derivații pot fi utilizați pentru a obține informații utile despre un grafic, cum ar fi maxime, minime, înălțimi, jgheaburi și pante. Puteți chiar să trageți graficele unor ecuații complicate fără un calculator cu ajutorul lor! Din păcate, este uneori dificil să se înțeleagă derivările, dar acest articol vă va ajuta cu câteva sfaturi și trucuri.

metodă

Imaginea intitulă
1
Uită-te la notația derivatelor. Următoarele două scrieri sunt cele mai frecvente, dar există o mulțime de alte spellings puteți găsi pe Wikipedia: Notațiile derivatului
  • notație Leibniz Această notație este adesea folosită atunci când ecuația depinde de y și x. dy / dx înseamnă "derivatul y la x". Poate fi util să vă gândiți la ea ca Δy / Δx pentru valorile x și y care sunt infinit diferite unul de celălalt. Această explicație conduce la definirea limitei unui derivat: limh-> 0 (F (x + h) -f (x)) / h. Dacă doriți să utilizați această ortografie pentru al doilea derivat, trebuie să îl utilizați ca d2y / dx2 Scrie.
  • notație Lagrange Derivatul unei funcții f este, de asemenea, scris ca f `(x), pronunțat "f stroke of x". Această notație este mai scurtă decât notația Leibniz și este utilă dacă doriți să luați în considerare derivatul ca o funcție. Pentru derivate mai mari, pur și simplu adăugați mai multe bare, de exemplu, al doilea derivat este f "(x).
  • Imaginea intitulă
    2
    Proprietățile de bază ale produselor derivate și ale aplicațiilor acestora. Pentru graficele liniare, panta poate fi calculată luând două puncte și valorile funcțiilor lor și inserându-le în ecuația (y2 - y1) / (X2 - x1) Începe. Cu toate acestea, dacă funcția nu este liniară, atunci graficul este "curbat", iar metoda de mai sus nu ar da un rezultat exact. Pentru a găsi panta unei tangente la curbă, luați două puncte și puneți-le în ecuația: [f (x + dx) - f (x)] / dx. dx înseamnă "delta x" și este diferența dintre cele două coordonate x ale celor două puncte din grafic. Această ecuație este aceeași cu (y2 - y1) / (X2 - x1), numai într-o formă diferită. Deoarece deja știm că rezultatul nu va fi exact, vom folosi o abordare indirectă. Pentru a obține panta tangentelor la punctul (x, f (x)), dx trebuie să meargă la 0, astfel încât cele două puncte selectate să se unească într-un singur punct. Cu toate acestea, nu este permisă divizarea cu 0. Deci, după ce introduceți toate valorile în ecuație, trebuie să încercați factoring sau transformări similare pentru a tăia dx-ul în numitor. Apoi puteți seta dx egal cu 0 și rezolvați ecuația. Aceasta este panta tangentelor din (x, f (x)). Derivatul unei funcții este expresia generală pentru a determina pantele tangentelor în toate punctele posibile. Acest lucru poate părea complicat, dar să ne uităm la câteva exemple care vă vor ajuta să înțelegeți cum să calculați potențialii clienți.

    • Metoda 1
    Explicit derivat

    Imaginea intitulă
    1
    Utilizați derivatul explicit dacă ecuația y se află deja pe o parte.
  • Imaginea intitulă
    2
    Puneți ecuația în [f (x + dx) - f (x)] / dx. De exemplu, dacă ecuația este y = x2 este, atunci derivatul este [(x + dx)2 - x2] / Dx.
  • 3
    Testați primul termen și mutați dx înainte: [dx (2x + dx)] / dx. Acum, dx poate fi trunchiat și rezultatul este 2x + dx. Dacă dx merge la 0, derivatul este 2x. Aceasta înseamnă că panta fiecărei tangente la graficul y = x2 2x este. Acum, setați pur și simplu valoarea x pentru poziția pentru care doriți să determinați panta.
  • Imaginea intitulă
    4
    Aflați câteva reguli pentru a calcula ecuații similare. Iată câteva:
  • Derivatul lui xp este pxp-1. De exemplu, 5x4 derivatul lui x5, și 3,5x2.5 derivatul lui x3.5. Dacă există un factor pre-factor, înmulțiți-l cu p. De exemplu, 12x3 derivatul de 3x4.
  • Derivatul unei constante este 0. Astfel 0 este derivatul lui 8.
  • Derivatul unei sume este suma derivatelor individuale. De exemplu, 3x2 + 6x derivatul lui x3 + 3x2.
  • Derivatul unui produs este primul factor înmulțit cu derivatul celui de-al doilea factor plus derivatul primului factor înmulțit cu al doilea factor. De exemplu, x3(2) + (2 x 1) 3x2 derivatul lui x3(2x + 1), care este de 8 ori3 + 3x2 rezultate.
  • Derivatul unui coeficient (de exemplu, f / g) este [g (derivat din f) -f (derivat de g)] / g2. De exemplu, (x2 - 6x + 15) / (x-3)2 derivatul (x2 + 2x - 21) / (x - 3).

    • Metoda 2
    Derivate implicite

    Imaginea intitulă
    1
    Utilizați derivări implicite dacă ecuația dvs. nu poate fi doar scrisă astfel încât y să fie doar pe o parte. Sau chiar dacă ați putea, dar calculul dy / dx ar fi încă complicat. Iată un exemplu de rezolvare a acestui tip de ecuație.


  • Imaginea intitulă
    2
    În acest exemplu, înlocuiți x2y + 2y3 = 3x + 2y y până la f (x), deci nu uitați că y este de fapt o funcție. Ecuația devine apoi x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
  • Imaginea intitulă
    3
    Pentru a obține derivatul acestei ecuații, derivați ambele părți la x. Ecuația arată astfel: x2f `(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f `(x) = 3 + 2f` (x).
  • Imaginea intitulă
    4
    Înlocuiți f (x) cu y. Dar aveți grijă să nu înlocuiți f `(x) cu y, deoarece derivatul este altceva.
  • Imaginea intitulă
    5
    Rezolvați ecuația pentru f `(x). Soluția este (3 - 2xi) / (x2 + 6Y2 - 2).

    • Metoda 3
    Derivații de ordin superior

    Imaginea intitulă
    1
    Calculul unui derivat superior înseamnă pur și simplu calcularea derivatului derivatului (pentru ordinul 2). De exemplu, pentru cel de-al treilea derivat se calculează derivatul derivatului derivatului. Pentru unele ecuații, derivatele mai mari devin 0.

    Metoda 4
    Norma lanțului

    Imaginea intitulă
    1
    Dacă y este o funcție diferențiabilă z (adică derivatul la z există) și z este o funcție x diferențiabilă, atunci y este o funcție compus în x, iar derivatul y la x (dy / dx) este (dy / du) * (du / dx). Regula de lanț poate fi astfel utilizată în funcții compuse cum ar fi: (2x4 - x)3. Pentru a calcula derivatul, faceți-o ca regula de produs. Multiplicați ecuația cu exponentul și decrementați exponentul cu 1. Apoi multiplicați ecuația cu derivatul din interiorul parantezei (2x ^ 4 - x în acest caz). Rezultatul este de 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).

    Sfaturi

    • Practicați regula produsului, regulă de coeficient, regulă de lanț și, în special, derivate implicite.
    • Derivatul lui yz (unde y și z sunt ambele funcții) nu este pur și simplu 1 deoarece y și z sunt ambele funcții. Utilizați regula produsului. yz = y * 1 + z * 1 = y + z.
    • Dacă aveți o problemă mare de rezolvat, nu vă faceți griji. Încercați să o divizați în probleme mai mici înainte de a aplica regula produsului, regulă de coeficient, etc. În final, puteți obține elementele.
    • Dacă calculatorul dvs. poate calcula potențialii utilizatori, învățați să utilizați funcțiile.
    • Aflați derivările simple ale funcțiilor trigonometrice de la inimă și cum le transformați.

    avertismente

    • Nu uitați că regula de coeficient este un minus înainte de f (derivat de g) - această greșeală este adesea făcută, dar acest lucru vă va da rezultatul greșit.
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit