Rezolvați ecuațiile diferențiale

Un curs complet în ecuații diferențiale

conținut

Metodă

Metoda 1elementele de bază
Metoda 2rezolvați ecuații diferențiale ordinare de ordinul întâi
Metoda 3rezolvați ecuații diferențiale de ordinul doi
Rezolva ecuațiile diferențiale ale comenzilor superioare

Aplicații practice
Sfaturi
Avertismente
Ce ai nevoie

include în majoritatea cazurilor aplicații derivate, care sunt tratate de obicei după câteva cursuri de analiză semestrială. derivare este asta rata de schimbare o mărime în raport cu alta, de exemplu rata la care viteza unui obiect se schimbă în timp (comparabilă cu cea a pantei). Astfel de rate de schimbare se regăsesc pretutindeni în viața de zi cu zi. De exemplu, regulă dobânzii compuse, că rata de acumulare de interes este proporțională cu capitalul, dată de ecuația dV (t) / dt = rV (t) și V (0) = P unde P este capitalul inițial, V (t), o funcție ora, capitala la momentul t (care este în mod constant interes) și r este rata dobânzii (dt este un interval arbitrar mic de timp, dV (t) este o schimbare infinit mică în V (t) în acest moment și coeficientul lor este rata de acumulare ). Deși interesul cardului de credit este, în mod normal, datorat zilnic și descris de către rata anuală efectivă, această ecuație diferențială are soluția continuă V (t) = Pe^rt. Acest articol vă va arăta cum să rezolvați anumite tipuri de ecuații diferențiale, în special în mecanică și fizică.

metodă

Metoda 1
Elementele de bază

Imaginea intitulată Rezolvă ecuațiile diferențiale Pasul 1

Definiția derivatului. Derivatul (de asemenea Coeficientul diferential numit) - Valoarea limită a coeficientului creșterea unei funcții (adesea numit y) și creșterea unei variabile (adesea numit x) în această funcție, atunci când câștigul variabilei se apropie de zero - modificarea momentală a unei variabile în raport cu alta, cum ar fi viteza, schimbarea instantanee a distanței în raport cu timpul este. comparații primul derivat și al doilea derivat:

Primul derivat - derivarea unei funcții, de exemplu: "Viteza este primul derivat al distanței după timp".
Al doilea derivat - derivarea derivatului unei funcții, de exemplu: The "accelerare este al doilea derivat al distanței după timp "

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor diferențiale Pasul 2

Ordinea și gradul unei ecuații diferențiale. comandă O ecuație diferențială este determinată de gradul celui mai mare derivat. grad este determinată de cel mai mare exponent al unei variabile. De exemplu, ecuația diferențială din imagine este de ordinul doi și a treia.

Diferența dintre una general și una special Soluția de rezolvare. O soluție generală conține cât mai multe constante arbitrare, după cum indică ordinea lor. La o ecuație diferențială n-Trebuie să rezolvați această comandă n Efectuați integrații și de fiecare dată când obțineți o constantă arbitrară. De exemplu, în regula regulată a ratei compușilor, ecuația diferențială dy / dt = ky de ordinul întâi și soluția generală y = ce^kt are exact o constanta. Obținem o soluție specială dacă dăm valori speciale constantei.

Acesta este un videoclip introductiv mai lung și mai detaliat al ecuațiilor diferențiale.

Metoda 2
Rezolvați ecuații diferențiale ordinare de ordinul întâi

O ecuație diferențială de ordinul întâi poate fi scrisă ca M dx + N dy = 0, unde M și N sunt funcții de x și y. Pentru a rezolva aceste ecuații diferențiale, procedați în felul următor:

Imaginea cu titlul Rezolvarea ecuațiilor diferențiale Pasul 4

Verificați dacă variabilele pot fi separate. Variabilele sunt separabile, atunci ecuația diferențială poate fi scrisă ca dx f (x) + g (y) dy = 0, unde f (x) este o funcție numai de x și g (y) este o funcție numai de y. Acestea sunt ecuațiile diferențiale care sunt mai ușor de rezolvat. Acestea pot fi integrate și apoi se obțin randamentul ∫f (x) dx + ∫g (y) dy = c, unde c este o constantă arbitrară. Iată o abordare generală. Vezi exemplul de mai jos.

Eliminați pauzele. Dacă ecuația diferențială conține derivate, atunci se multiplică întreaga ecuație cu diferența variabilei independente.
Rezumați toți termenii cu același diferențial.
Integrați fiecare parte separat.

Simplificați expresia prin rezumarea termenilor, transformând logaritmii în exponenți și utilizând simbolul cel mai simplu pentru constantele arbitrare.

{C5-lz0hcqsE} Acest video arată modul de rezolvare a ecuațiilor diferențiale separabile.

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor diferențiale Pasul 5

Dacă variabilele nu pot fi separate, atunci Verificați dacă ecuația diferențială este omogenă. O ecuație diferențială M dx + N dy = 0 este omogen, atunci când înlocuirea lui x și y de λx și λy aceleași rezultate ca funcția originală înmulțită cu o putere de λ, în care această putere este numită de λ, gradul funcției inițiale. Dacă da, urmați acest ghid. Comparați exemplul din imaginea 3.

Fie y = vx astfel încât dy / dx = x (dv / dx) + v.
Deoarece M dx + N dy = 0, dy / dx = -M / r = f (v), deoarece y este o funcție a v.
Astfel, f (v) = dy / dx = x (dv / dx) + v. Variabilele x și v pot fi separate: dx / x = dv / (f (v) -v)).
Rezolva noua ecuație diferențială cu variabile separabile și apoi utilizați substituția y = vx din nou pentru a obține y.

Acest videoclip arată modul de rezolvare a ecuațiilor diferențiale omogene de ordinul întâi.

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor diferențiale Pasul 6

Dacă ecuația diferențială nu poate fi rezolvată prin una din aceste două metode, încercați să o scrieți ca o ecuație liniară a formulei dy / dx + Py = Q, unde P și Q sunt funcții de numai x sau constante. Rețineți că x și y pot fi schimbate aici. Dacă da, continuați după cum urmează. Comparați exemplul din figura 4.

Fie y = uv, unde u și v sunt funcții de x.

Prin derivare obținem dy / dx = u (dv / dx) + v (du / dx).

Am pus acest lucru în dy / dx + Py = Q & primi u (DV / dx) + v (du / dx) + puv = Q, sau u (DV / dx) + (du / dx + Pu) v = Q .

Determinați u prin integrarea du / dx + Pu = 0. Variabilele sunt separate aici. Apoi folosiți calculul u pentru a determina v prin rezolvarea u (dv / dx) = Q. Variabilele sunt din nou separabile aici.

În cele din urmă, utilizați substituția y = uv pentru a determina y.

{Et4Y41ZNyao} Acest video arată modul de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul întâi.

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor diferențiale Pasul 7

Rezolvați ecuația Bernoullidy / dx + p (x) y = q (x) yⁿ după cum urmează:

Fie u = y^1-n. Deci, sunteți / dx = (1-n) y^-n (Dy / dx).
Deci y = u^{1 / (1-n)} și dy / dx = (du / dx) yⁿ / (1-n) și yⁿ = u^{n / (n-1)}.
Puneți totul în ecuația Bernoulli și multiplicați totul cu (1-n) / u^{1 / (1-n)} și a lua

du / dx + (1-n) p (x) u = (1-n) q (x).
Rețineți că aceasta este acum o ecuație liniară de ordinul întâi în noua variabilă u și poate fi rezolvată prin metoda de mai sus (pasul 3). Odată rezolvată, puteți să o înlocuiți din nou, y = u^{1 / (1-n)}, pentru a obține soluția generală.

Acest video arată cum să rezolve ecuațiile diferențiale Bernoulli.

Metoda 3
Rezolvați ecuații diferențiale de ordinul doi

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor diferențiale Pasul 8

Verificați dacă ecuația diferențială este formată ca în ecuația (1) din Figura 5, unde f (y) este o funcție numai a y sau o constantă. Dacă da, urmați instrucțiunile din Figura 5.

Rezolvați ecuații diferențiale liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți: Verificați dacă ecuația diferențială este de formă ca în ecuația (1) din imaginea 6. Dacă da, ecuația diferențială poate fi rezolvată ca o ecuație patratică, după cum se arată mai jos:

{UFWAu8Ptth0} Acest videoclip prezintă proprietățile ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul doi.

Acest videoclip arată modul de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul doi.

Pentru a rezolva o ecuație diferențială liniară mai generală de ordinul doi, verificați dacă aceasta este de formă ca în ecuația (1) din Figura 7. Dacă da, poate fi rezolvată în felul următor. Mai jos în figura 7 urmează un exemplu.
Ecuația de declanșare (1) Imaginea 6 (unde f (x) = 0) cu metoda de mai sus. Soluția generală este y = u. u este funcția complementară pentru ecuația (1) Imaginea 7.
Determinați o soluție specială y = v pentru ecuația (1) din Figura 7 prin încercare și eroare. Urmați acest ghid:
Dacă f (x) nu soluția specială din (1) este:
Dacă f (x) are forma f (x) = a + bx, atunci presupunem că y = v = A + Bx;
Dacă f (x) este forma f (x) = ae^bx are, apoi ia y = v = Ae^bx pe;
Dacă f (x) este forma f (x) = a₁ cos bx + a₂ sin bx, atunci ia y = v = A₁ cos bx + a₂ sin bx on.
Dacă f (x) este o soluție specială de (1) este, apoi luați formularul de mai sus pentru v înmulțită cu x pe.

Soluția generală a lui (1) este dată de y = u + v.{# ev: youtube} Acest videoclip arată modul de rezolvare a unor ecuații diferențiale liniar secundare mai generale.

Rezolva ecuațiile diferențiale ale comenzilor superioare

Ecuațiile diferențiale de ordine superioare sunt mult mai greu de rezolvat decât în câteva cazuri speciale:

Verificați dacă este în formă ca în ecuația (1) din imaginea 5, unde f (x) este o funcție de numai x sau o constantă. Dacă da, urmați instrucțiunile din Figura 8.
Rezolvarea ecuatiilor liniari diferentiale n-ordine cu coeficienți constanți: Verificați dacă este de formă ca în ecuația (1) din imaginea 9. Dacă da, poate fi rezolvată în felul următor:
Pentru a obține o ecuație diferențială liniară mai generală n-Verificați dacă este de formă ca în ecuația (1) din Figura 10. Dacă este așa, atunci el poate fi rezolvat printr-o metodă analogă cu cea care poate fi utilizată pentru a rezolva ecuațiile diferențiale liniar secundare:

Aplicații practice

regulă interes compuse: Rata de acumulare a dobânzii este proporțională cu capitalul inițial. Mai general, rata de schimbare în raport cu o variabilă independentă este proporțională cu valoarea corespunzătoare a funcției. Aceasta este, dacă y = f (t), atunci dy / dt = ky. Dacă rezolvăm această ecuație cu metoda variabilei separabile, atunci obținem y = ce^kt, unde y este dobânda acumulată, c este orice constantă, k este rata dobânzii (de exemplu, rata dobânzii în euro pentru un euro pe an) și t este timpul. Prin urmare, timpul este bani.

Rețineți că Interesul compus se aplică de obicei în multe alte zone. De exemplu, să presupunem că ați încercat să diluați o soluție de apă sărată prin scurgerea apei în soluție. Cât de multă apă trebuie să dai? Și cum se schimbă concentrația soluției în raport cu rata la care apa curge în ea?

Fie s = cantitatea de sare din soluție în orice moment dat, x = cantitatea de apă care a trecut și v = volumul soluției. Concentrația de sare a soluției este dată de s / v. Să presupunem acum că un volum Δx a scăzut și astfel cantitatea de sare care a ieșit (s / v) este Δx. Astfel, schimbarea cantității de sare, Δs, este descrisă de Δs = - (s / v) Δx. Împărțiți ambele părți cu Δx și obțineți Δs / Δx = - (s / v). Considerăm traversarea limitelor Δx -> 0 și obținem ds / dx = -s / v, care este o ecuație diferențială a formei regulii de interes compuse, unde y este acum s, t este acum x și k este acum -1 / v.

Legea răcirii lui Newton este o altă variație a regulii de interes compuse. Acesta afirmă că rata de timp a căderii de temperatură a unui corp de temperatură peste temperatura ambiantă este proporțională cu temperatura peste temperatura ambiantă. Fie x = temperatura corpului peste temperatura ambiantă și t = time, atunci avem dx / dt = kx, unde k este o constantă. Soluția la această ecuație diferențială este x = ce^kt, unde c este o constantă arbitrară, la fel ca mai sus. Să presupunem că temperatura deasupra temperaturii ambiante, x, a fost mai întâi de 80 grade Fahrenheit și picături la 70 de grade Fahrenheit într-un minut. Cum va fi temperatura după 2 minute?

Fie t = timpul în minute și x = temperatura peste temperatura ambiantă în grade Fahrenheit, atunci avem 80 = ce^{k * 0} = c. Astfel, 70 = ce^{k * 1} = 80e^k. Astfel, k = ln (7/8) și x = 70e^{ln (7/8) t} este o soluție specială la această problemă. Acum putem folosi t = 2 și obține x = 70e^{ln (7/8) * 2} = 53,59 grade Fahrenheit după 2 minute.

Diferite straturi ale atmosferei cu altitudine crescătoare deasupra nivelului măriiÎn termodinamica atmosferică schimbările presiunii atmosferice p deasupra nivelului mării, proporțional cu altitudinea B deasupra nivelului mării - din nou o variație a formulei de interes compuse. Ecuația diferențială aici este dp / dh = kh, unde k este o constantă.

Imaginea cu titlul Hydrochloric_acid_ammonia_698

În chimie devine rata unei reacții chimice în care x este cantitatea convertită în funcție de timp și t este rata de timp a schimbării lui x. Fie a = concentrația la începutul reacției, atunci dx / dt = k (a-x), unde k este constanta ratei. Aceasta este o altă variantă a formulei de interes compuse, unde (a-x) este acum variabila dependentă. d (a-x) / dt = -k (a-x) și deci d (a-x) / (a-x) = -kdt. Prin integrarea, obținem ln (a-x) = -kt + a, deoarece a-x = a în momentul t = 0. Prin schimbarea ecuației obținem constanta k = (1 / t) ln (a / (a-x)).

Imaginea intitulată Better_circuit_863.JPG

Când electromagnetismul într-un circuit electric cu tensiune V și electricitate eu va tensiunea V consumate în depășirea rezistenței R a circuitului și a bobinei L și poate fi descris de către V=iR + L (di / dt) sau di / dt = (V - iR) /L. Aceasta este o altă variație a formulei de interes compuse, unde V - iR acum variabila independenta este.

În acustică are unul simpla oscilație armonică o accelerație direct proporțională cu distanța negativă. Accelerația este al doilea derivat al distanței, deci este adevărat d²s/dt² + k²s = 0, în care s = Distanța, T = Timp și k² este valoarea accelerației la distanța unitară. Asta e una simplă ecuație armonică, o ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți, așa cum se arată în figura 6, Ecuațiile (9) și (10). Soluția este s = c₁cos kt + c₂sin kt.

Acest lucru poate fi simplificat în continuare de c₁ = b sin A și c₂ = b cos A seturi. Dacă înlocuim că primim B sin A cos kt + b cos A sin kt. Din trigonometrie știm că păcatul (x + y) = sin x cos y + cos x sin sin, astfel încât expresia simplifică s = b sin (kt + A). Valul, care satisface ecuația armonică simplă, oscilează între b și -b cu perioada 2π /k.

Vârtej de primăvară: Ia un obiect cu masa m, suspendat pe un arc oscilant. Conform legii lui Hooke, izvorul exercită o forță F pentru a reveni la poziția inițială după ce ai s Unitățile cu lungimea lor naturală (sau poziția de echilibru) au fost separate sau comprimate. Această forță F este proporțională cu s sau F = -k²s. Prin a doua lege a lui Newton (forța este egală cu accelerația de masă), avem m d²s/dt² = -k²s sau m d²s/dt² + k²s = 0, care este o formă de ecuație armonică simplă.

Amortizorul amortizor spate și arcul unei motociclete BMW R75 / 5Vibrații amortizate: Luați în considerare arcul oscilant al exemplului de mai sus cu o forță de amortizare. O forță de amortizare este orice, cum ar fi frecare, care reduce amplitudinea vibrațiilor într-un oscilator. De exemplu, o forță de amortizare ar putea fi exercitată de un amortizor de șoc într-o mașină. În cele mai multe cazuri, aceasta este forța de amortizare F_d aproximativ proporțional cu viteza obiectului sau F_d = -c² ds / dt, în care c² este o constantă. Dacă rezumăm forțele de atenuare și restabilire, atunci ajungem -k²s - c² ds / dt = m d²s/dt² în conformitate cu a doua lege a lui Newton. sau m d²s/dt² + c² ds / dt + k²s = 0. Această ecuație diferențială liniară este de ordinul doi, care poate fi rezolvată prin luarea ecuației auxiliare mr² + c²r + k² = 0 declanșează după tine s = e^rt a înlocuit.
Dacă le rezolvăm cu formula brută, ajungem r₁ = (-c²+ sqrt (c⁴- 4mk²) / 2m- r₂= (-c² - sqrt (c⁴ - 4mk²) / 2m.

Deprecierea supercritică: Dacă c⁴ - 4mk² > 0, atunci sunt r₁ și r₂ reale și diferite. Soluția este s = c₁e^r₁T + c₂e^r₂T. deoarece c², m și k² toate sunt pozitive, sqrt (c⁴ - 4mk²) mai mică decât c² fi, din care rezultă că ambele r₁ și r₂ sunt negative și funcția scade exponențial. În acest caz, găsește nu Vibrație în loc. O astfel de forță de amortizare puternică poate fi exercitată, de exemplu, de ulei sau grăsimi foarte vâscoase.

Amortizarea critică: Dacă c⁴ - 4mk² = 0, atunci r₁ = r₂ = -c² / 2m. Soluția este s = (c₁ + c₂t) e^(-c²/ 2m) t. Încă scade exponențial, fără a se învârti. Cu toate acestea, cea mai mică reducere a forței de amortizare este suficientă pentru ca obiectul să vibreze dincolo de punctul de echilibru.

Diminuarea subcritică: Dacă c⁴ - 4mk² < 0, atunci rădăcinile sunt complexe și sunt date de -c / 2m +/ - ωeu, unde ω = sqrt (4mk² - c⁴) / 2m. Soluția este s = e^-(c²/ 2m) t (c₁ cos ωT + c₂ sin. ωT). Aceasta este o vibrație care este afectată de factorul e^-(c²/ 2m) t este amortizat. Pentru că ambele c² de asemenea m sunt pozitive, e^-(c²/ 2m) t atinge zero, deși T merge împotriva infinității. Cu aceasta, mișcarea ajunge în final la zero.

Sfaturi

Puneți-vă soluția înapoi în ecuația diferențială originală pentru a vedea dacă aceasta satisface ecuația. Aceasta dovedește că ați rezolvat corect ecuația diferențială.
Multe ecuații diferențiale nu pot fi rezolvate prin metodele de mai sus. Cu toate acestea, metodele de mai sus sunt suficiente pentru a rezolva multe ecuații diferențiale importante care sunt întâlnite adesea.
Notă: opusul calcul diferențial este calcul integral, care se referă la suma tuturor efectelor unor cantități mereu în schimbare, de exemplu, la calcularea distanței (comparați cu d = rt) parcursă de un obiect când toate vitezele actuale (viteze) sunt cunoscute în timp.

avertismente

Spre deosebire de calculul diferențial, în cazul în care se poate calcula derivatul oricărei expresii dat, integrala poate fi uneori calculată. Deci, nu pierdeți timpul încercând să integrați o expresie care nu poate fi integrată. Uită-te înainte la o masă integrală. Soluția unei ecuații diferențiale este considerată a fi pe deplin calculată atunci când este plasată într-o formă cu integrale, indiferent dacă integrarea poate fi efectuată sau nu.