Calcul diferențial și integral
Calculul diferențial și integral (Analiză) este o ramură a matematicii care se ocupă de limite, funcții, derivați, integrale și serii infinite. Acest subiect este o parte importantă a matematicii și susține multe dintre ecuațiile care descriu fizica și mecanica. Probabil că aveți nevoie de un curs de liceu sau universitar pentru a înțelege foarte bine calculul diferențial și integral, însă acest articol vă poate ajuta să începeți, să vă ajutați să urmăriți conceptele importante și să obțineți cunoștințe tehnice.
conținut
metodă
Metoda 1
Repetarea fundamentelor calculului diferențial și integral
1
În calculul diferențial și integral, unul se preocupă de modul în care se schimbă lucrurile. Calculul diferențial și integral este o ramură a matematicii care privește numerele și curbele, de obicei din lumea reală, și descrie modul în care se schimbă. Este posibil să nu pară foarte util la început, dar calculul diferențial și integral este una dintre cele mai utilizate ramuri ale matematicii din lume. Imaginați-vă că aveți instrumentele necesare pentru a investiga cât de repede crește afacerea dvs. în orice moment, sau pentru a înregistra cursul unei nave și cât de repede arde combustibilul. Calculul diferențial și integral este un instrument important în inginerie, economie, statistică, chimie și fizică și a contribuit la realizarea multor invenții și descoperiri reale.
2
Funcțiile sunt relații între două numere și sunt folosite pentru a reprezenta relațiile din lumea reală. Funcțiile sunt reguli pentru relațiile dintre numere, iar matematicienii le folosesc pentru a face grafice. Într-o funcție, fiecare intrare are o ieșire. De exemplu, la y = 2x + 4, fiecare valoare a "x" returnează o nouă valoare a "y". Dacă x = 2, atunci y = 8, dacă x = 10, atunci y = 24. În calculul diferențial și integral, funcțiile sunt examinate pentru a vedea cum se schimbă folosind funcțiile care guvernează relațiile în ecuație descrie lumea reală.
3
Infinity. Infinitatea trebuie să repete un proces din nou și din nou. Nu este un loc specific (nu se poate ajunge la infinit), ci comportamentul unui număr sau al unei ecuații, dacă se repetă mereu. Acest lucru este important pentru a studia schimbările: poate doriți să știți cât de repede se mișcă mașina dvs. la un moment dat, dar înseamnă asta cât de repede a fost pentru acea secundă? Sau milisecunde? Sau nanosecunde? Puteți găsi unități de timp infinit de mici pentru a fi foarte exacte, și aici vine diferențialul și calculul integral.
4
Limite. Un prag vă spune ce se întâmplă când ceva este aproape de infinit. Luați numărul 1 și împărțiți-l cu 2. Apoi împărțiți-l cu 2. 1 devine 1/2, apoi 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 etc. De fiecare dată când numărul devine mai mic și mai mici și mai mici, ea mereu merge "mai aproape" la zero. Dar unde se termină? De câte ori trebuie să împărțiți 1 până la 2 până când ajungeți la zero? În calculul diferențial și integral, în loc să răspundem la această întrebare, intervine limită stabilită. În acest caz, limita = 0.
5
Repetați conceptele matematice esențiale din algebră și trigonometrie. Calculul diferențial și integral se bazează pe multe domenii ale matematicii pe care le-ați învățat de mult timp. Prin înțelegerea pe deplin a acestor subiecte, este mult mai ușor să învățați și să înțelegeți calculul diferențial și calculul integrat. Unele subiecte pe care ar trebui să le repetați sunt:
6
Cumpărați un calculator grafic. Calculul diferențial și integral este incredibil de greu de înțeles dacă nu vedeți ce faceți. Graficele calculatoarelor iau funcții și le vizualizați, astfel încât să puteți înțelege mai bine munca voastră. De multe ori puteți vedea limitele de pe ecran și poate calcula automat conductele și funcțiile.
Metoda 2
derivatii
1
Calculul diferențial și integral este folosit pentru a examina "schimbarea instantanee". Știind cum se schimbă ceva la fiecare moment precis este scopul calculului diferențial și integral. De exemplu, calculul diferențial și integral vă informează nu numai despre viteza mașinii dvs., ci și despre cât de mult se schimbă viteza la un moment dat. Aceasta este una dintre cele mai simple aplicații ale calculului diferențial și integrat, dar este incredibil de importantă - imaginați cât de utilă este această cunoaștere a vitezei unei nave spațiale să ajungă pe Lună!
- Determinarea modificării actuale devine se diferenția numit. Calculul diferențial este prima dintre cele două ramuri principale ale calculului diferențial și integral.
2
Utilizați derivați pentru a înțelege modul în care lucrurile se schimbă în acel moment. Un "derivat" este un cuvânt extrem de sondant care poate insufla teama. Dar conceptul în sine nu este atât de greu de înțeles - înseamnă doar "cât de rapid se schimbă ceva". Cele mai frecvent utilizate derivate din viața de zi cu zi sunt viteza. Probabil nu o veți numi "derivată a vitezei", ci "accelerare".
3
Rata de schimbare este panta dintre doua puncte. Acesta este unul dintre cele mai importante rezultate ale calculului diferențial. Rata de schimbare dintre două puncte este egală cu panta liniei de conectare. Imaginați-vă o linie dreaptă simplă, ca aparținând ecuației y = 3x. Panta liniei este 3, ceea ce înseamnă că pentru fiecare valoare nouă a lui x, y se modifică cu 3. Panta este aceeași cu rata de schimbare: o panta de trei înseamnă că linia se modifică cu 3 pentru fiecare schimbare în x. Dacă x = 2, y = 6 dacă x = 3, y = 9.
4
Pantă de curbe. Determinarea pantei unei linii drepte este relativ simplă: cât de mult se schimbă y pentru fiecare valoare a lui x? Pentru ecuații mai complexe cu grafice mai complexe, cum ar fi y = x2, ele sunt mult mai greu de determinat. Cu toate acestea, puteți seta rata de schimbare între oricare două puncte - trageți doar o linie între ele și calculați panta pentru a găsi rata de schimbare.
5
Aduceți-vă punctele mai aproape împreună pentru a obține o rată de schimbare mai exactă. Cu cât sunt mai aproape două puncte, cu atât mai mult veți obține un rezultat mai precis. Să presupunem că vrei să știi cât de repede mașina accelerează spre dreapta când accelerezi. Apoi, nu doriți să măsurați schimbarea vitezei dintre casa dvs. și magazinul alimentar pentru a determina schimbarea vitezei, dar doriți să determinați schimbarea vitezei în a doua etapă pe gaz. Cu cât măsura este mai apropiată de acea fracțiune de secundă, cu atât măsurarea va fi mai exactă.
6
Utilizați linii infinit de scurte pentru a determina "rata instantanee de schimbare" sau derivat. Aici, calculul diferențial devine adesea confuz, dar acesta este de fapt rezultatul a două fapte simple. În primul rând, știți că panta unei linii drepte este egală cu cât de repede se schimbă. În al doilea rând, știți că cu cât sunt mai aproape de punctele liniei dvs., cu atât rezultatul va fi mai precis. Dar cum se poate determina rata de schimbare într-un punct în care panta este raportul dintre două puncte? Răspunsul calculului diferențial: Luați două puncte care sunt aproape infinite împreună.
7
Învățați să calculați o varietate de instrumente derivate. Există o mulțime de tehnici diferite, în funcție de ecuație, pentru a determina un derivat, dar majoritatea au sens dacă vă amintiți principiile fundamentale ale derivatelor descrise mai sus. Toate derivatele sunt o modalitate de a determina panta liniei "infinit de scurte". Acum că cunoașteți teoria derivatelor, o mare parte a lucrării este de a calcula rezultatele.
8
Determinați ecuațiile derivate pentru a anticipa rata de schimbare la fiecare punct. Folosirea derivatelor pentru a găsi rata de schimbare la un punct este de ajutor, dar frumusețea calculului diferențial este că vă permite să creați un nou model pentru fiecare funcție. Derivatul lui y = x2, de exemplu, y esteL = 2x. Aceasta înseamnă că aveți derivatul pentru fiecare punct al graficului y = x2 determină pur și simplu introducerea în ecuația derivată. La punctul (2, 4), unde x = 2 și y = 4, derivatul este 4, deoarece yL = 2 * (2).
9
Gândiți-vă la exemple reale de instrumente derivate dacă aveți în continuare probleme de înțelegere. Cel mai simplu exemplu are de a face cu viteza si ofera multe derivari diferite pe care le vedem in fiecare zi. Reține un derivat este o măsură a cât de rapid se schimbă ceva. Amintiți-vă experimentul simplu "Trageți o marmură pe o masă", unde măsurați cât de departe a venit de fiecare dată și cât de repede sa mutat. Acum, imaginați-vă că rolele de marmură de rulare de-a lungul unei curbe într-un grafic - vom folosi instrumente derivate pentru a măsura modificările actuale în orice punct de pe această curbă.
Metoda 3
integrală
1
Calculul diferențial și integral pot fi utilizate pentru a calcula suprafețele și volumele complexe. Vă permite să măsurați forme complexe, care de obicei sunt prea grele. De exemplu, să presupunem că încercați să aflați cât de multă apă este într-un lac lung și ciudat - nu ar fi posibil să măsurați suplimentar fiecare galon de apă sau să folosiți o riglă pentru a măsura forma lacului. Cu un calcul diferențial și integral puteți studia modul în care se schimbă marginile lacului și utilizați aceste informații pentru a calcula cantitatea de apă din lac.
- Crearea de modele geografice și studii de volum utilizează Integrare. Integrarea este a doua ramură majoră a calculului diferențial și integral.
2
Integrarea determină zona de sub un grafic. Integrarea este utilizată pentru a măsura zona sub orice curbă, permițându-vă să determinați zona de forme ciudate sau neregulate. Luați în considerare ecuația y = x2, al cărui grafic arată ca un uriaș "U". S-ar putea să doriți să aflați cât de mare este aria de sub Us și puteți folosi integrarea pentru a afla. Acest lucru pare un exemplu inutil, dar amintiți-vă de aplicațiile de fabricație - puteți crea o caracteristică care arată ca o nouă parte și utilizează integrarea pentru a determina zona piesei astfel încât să puteți comanda cantitatea potrivită de material .
3
Trebuie să alegeți o suprafață pentru a vă putea integra. Nu puteți integra o funcție întreagă. De exemplu, y = x este o linie diagonală care este infinit de lungă și nu puteți integra totul pentru că nu se termină. Când integrați funcțiile, trebuie să alegeți o zonă, cum ar fi toate punctele dintre x = 2 și x = 5.
4
Gândiți-vă cum să determinați zona unui dreptunghi. Imaginați-vă că avem o linie orizontală într-un grafic, cum ar fi y = 4. Pentru a determina suprafața sub linie, ar trebui să calculați aria unui dreptunghi între y = 0 și y = 4. Acest lucru este ușor de calculat, dar nu funcționează pentru curbe care nu pot fi ușor rotite în dreptunghiuri.
5
Integrarea însumează multe dreptunghiuri mici pentru a determina zona. Dacă creșteți foarte mult o curbă, aceasta arată netedă în fiecare punct. Acest lucru se întâmplă în fiecare zi - nu putem vedea curbura pământului pentru că suntem atât de aproape de suprafață. În timpul integrării, un număr infinit de dreptunghiuri mici sunt plasate sub o curbă care este atât de mică încât piesele de curbă lungi corespunzătoare sunt în esență plate, astfel încât să le puteți calcula. Adăugați-le pe toate pentru a obține zona sub o curbă.
6
Integralele citiți și scrieți corect. Integralele sunt formate din patru părți. Un model tipic arată astfel:
∫ f (x) dx
Primul simbol, ∫ este simbolul integrării. A doua parte, f (x), este locul unde plasați funcția (2x + 2, t2, etc), iar dx la sfârșit vă spune care este direcția.
Primul simbol, ∫ este simbolul integrării. A doua parte, f (x), este locul unde plasați funcția (2x + 2, t2, etc), iar dx la sfârșit vă spune care este direcția.
7
Calculați integralele. Există multe modalități de integrare și trebuie să învățați o mulțime de formule diferite pentru a integra fiecare funcție. Dar toți respectă principiul de mai sus: în integrare se adaugă un număr infinit de dreptunghiuri.
8
Integrarea este inversarea diferențierii. Aceasta este o regulă de fier a calculului diferențial și integral și a dus la numeroase descoperiri științifice și tehnologice. Deoarece integrarea și diferențierea sunt atât de strâns legate, o combinație a celor două poate fi utilizată pentru a calcula ratele de schimbare, accelerare, viteză, poziție, mișcare etc., indiferent de datele pe care le aveți.
9
Odată cu integrarea, puteți determina și volumul de obiecte 3D. Întoarcerea unei forme plate creează un corp 3D. Imaginați-vă că transformați o monedă pe masă în fața dvs. - observați cum se pare că se formează o minge când se întoarce. Puteți utiliza acest concept pentru a determina volumul într-un proces numit volum prin rotație.
Sfaturi
- Rezolvați-vă problemele consultându-vă profesorul.
- Începeți cu elementele de bază.
- Fii atent în clasă.
- Practica este perfectă, la fel și exercițiile din manualul dvs. și examinați rezultatele pentru a înțelege conceptele.
Distribuiți pe rețelele sociale:
înrudit
Determinați aria unui poligon obișnuit
Calculați derivații
Calculați distanța- Calculați masa unei sfere
Rezolvați ecuațiile diferențiale
Faceți făină de pâine
Calculați profitul unui stoc
Calculați rata de contracție
Pot conta mult mai bine
Creați o formulă pentru a reduce data cu o lună- Verificați uleiul de transmisie a osiei unei mașini
Calculați timpul într-o foaie de calcul Excel
Calculați zonele
Derivarea funcțiilor implicite
Învață matematica
Convertiți kilogramele în kilograme
Derivă polinoame
Conversia de la picioare la metri
Determinați punctele de cotitură
Degresați întregul lapte
Predă matematica