Derivarea funcțiilor implicite

Dacă utilizați o ecuație pentru calculul diferențial y

conținut

Metodă

Metoda 1derivează rapid ecuațiile simple
Metoda 2tehnici mai avansate

Avertismente

, singurii termeni cu x conține (ca y = x² -3x), atunci este ușor de utilizat tehnicile de derivare de bază (cunoscute de matematicieni ca tehnici "derivate explicite") pentru a determina derivatul. Dar pentru ecuațiile în care este dificil să le remodelați astfel încât y să stea singură pe o parte a semnului egal (x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), avem nevoie de o abordare diferită. Cu o tehnică numită diferențiere implicită, este ușor să calculați derivații ecuațiilor cu mai multe variabile dacă cunoașteți elementele de bază ale diferențierii explicite!

metodă

Metoda 1
Derivează rapid ecuațiile simple

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 1

Conduceți x-Terme ca de obicei. Dacă încercați o ecuație cu mai multe variabile, cum ar fi x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, poate fi dificil să găsești un început. Din fericire, primul pas în diferențierea implicită este cel mai ușor. Pur și simplu conduce primul x-Condițiile și constantele de pe ambele părți ale ecuației conform regulilor normale (explicite) ale calculului diferențial. Ignoră primul y-Terme.

Să derivăm împreună ecuația simplă de mai sus. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 are două x-Termeni: x² și -5x. Dacă vrem să derivăm ecuația, atunci începem cu aceste două:
x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19
(Scrieți exponentul "2" în x² ca un coeficient înainte de asta x, elimina asta x în -5x și scrieți 0 în loc de 19)
2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 2

Conduceți y-Terme și adăugați termenii "(dy / dx)". În pasul următor vedem y-Terme, precum și x-Terme. Cu toate acestea, de data aceasta vom scrie "(dy / dx)" la termen, precum și un coeficient. De exemplu, dacă y² derivă, apoi scriem 2y (dy / dx). Noi ignorăm termenii cu x și y în acest moment.

În exemplul nostru, ecuația arată astfel: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Facem pasul de a deriva y-Termenii sunt după cum urmează:
2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0
(Scrieți exponentul "2" în y² ca un coeficient înainte de asta y, elimina asta y în 8y și scrie "dy / dx" peste tot).
2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2 xi²= 0

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 3

Utilizați regula de produs sau de coeficient pentru termenii cu x și y. Tratarea termenilor care conțin atât x, cât și y este ceva mai complicat, dar dacă cunoașteți regula produsului și coeficientului pentru derivat, nu vi se poate întâmpla nimic. Dacă x și y sunt multiplicate, luați regula produsului ((f * g) `= f` * g + g * f `) și setați x-Termen pentru f și y-Termen pentru g. Cu toate acestea, dacă termenii x și y sunt partajați, atunci folosiți regula de coeficient ((f / g) `= (g * f` - g `* f) / g²) și setați termenul de numărător pentru f și termenul de numitor pentru g.

În exemplul nostru 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy² = 0 avem doar un termen cu x și y - 2xi². deoarece x și y înmulțite unul cu celălalt, folosim regula de produs pentru a diferenția după cum urmează:
2xy² = (2x) (y²) - setați 2x = f și y² = g în (f * g) `= f` * g + g * f `
(f * g) `= (2x)` * (y²) + (2x) * (y²) "
(f * g) `= (2) * (y²) + (2x) * (2y (dy / dx))
(f * g) `= 2y² + 4xy (dy / dx)
Dacă punem acest lucru înapoi în ecuația noastră, atunci ajungem 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 4

Puneți (dy / dx) pe o parte. Aproape am reușit! Acum trebuie doar să rezolvăm ecuația pentru (dy / dx). Acest lucru pare dificil, dar, de obicei, nu este - nu uitați că orice doi termeni o și b, fiecare înmulțit cu (dy / dx) poate fi scris ca (a + b) (dy / dx) în funcție de proprietatea distributivă a înmulțirii. Această strategie poate face ușor de a aduce (dy / dx), pe de o parte - aduce toate celelalte termeni de cealaltă parte a colțarul și apoi împărțiți clip-expresia înainte (dy / dx).

În exemplul nostru putem 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + Simplificați 4xy (dy / dx) = 0 după cum urmează:
2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0
(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y² = 0
(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y² - 2x + 5
(dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xi)
(dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xi + y + 4))

Metoda 2
Tehnici mai avansate

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 5

Setați valorile (x, y) pentru a determina (dy / dx) pentru orice punct. Felicitări! Ați derivat implicit ecuația dvs. - nu atât de ușor la început! Pentru a utiliza această ecuație pentru a determina pantă (dy / dx) pentru orice punct (x, y), aveți nevoie doar de x- și y-Introduceți valori pentru punctul dvs. în partea dreaptă a ecuației și apoi calculați (dy / dx).

Să presupunem că vrem să determinăm panta la punctul (3, -4) pentru ecuația exemplului de mai sus. Prin urmare, stabilim 3 pentru x și -4 pentru y și continuați să numărați după cum urmează:
(dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xi + y + 4))
(dy / dx) = (-2 (-4)² - 2 (3) + 5) / (2 (3 (4) + (-4) + 4))
(dy / dx) = (-2 (16) -6 + 5) / (2 (3) (-4)
(dy / dx) = (-32-6 + 5) / (2 (2 (-12)))
(dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12)))
(dy / dx) = (-33) / (- 48) = 33/48 sau 0.6875.

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 6

Utilizați regula lanțului pentru funcțiile din cadrul funcțiilor. Regulatorul lanțului este un instrument important pentru sarcinile de calcul diferențiale (chiar și pentru sarcinile derivate implicite). Regulă de lanț afirmă că pentru o funcție F (x), care este considerată (f o g) (x), derivatul lui F (x) este același f (g (x)) g „(x) este. Pentru sarcini dificile cu funcții implicite, aceasta înseamnă că se pot obține diferite "bucăți" individuale ale ecuației și apoi se pun împreună pentru a produce rezultatul.

Să presupunem, ca un exemplu simplu, să luăm în considerare derivarea păcatului (3x² + x) ca parte a unei sarcini mai mari cu funcții implicite pentru păcatul de ecuații (3x² + x) + y³ = 0 determina. Când păcătuim (3x² + x) ca "f (x)" și 3x² + Introduceți x ca "g (x)", putem determina derivatul după cum urmează:
f (g (x)) g „(x)
(Sin (3x² + x)) `* (3x² + x) "
cos (3x² + x) * (6x + 1)
(6x + 1) cos (3x² + x)

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 7

Pentru ecuațiile cu variabilele x, y și z, trebuie să fim (dz / dx) și (dz / dy). Deși nu este obișnuit în calculul diferențial simplu, aplicațiile mai complicate pot necesita derivate implicite de mai mult de două variabile. Pentru fiecare variabilă suplimentară trebuie să determinăm derivatul suplimentar la x. De exemplu, dacă avem x, y și z, avem nevoie de ambele (dz / dy) și (dz / dx). Putem face acest lucru prin derivarea ecuației de două ori în raport cu x - prima dată când vom adăuga (dz / dx), de fiecare dată când unul, dacă vom obține termenul cu Z, iar a doua oară adaugam (dz / dy) de fiecare dată când un dacă derivăm un termen cu z. Apoi trebuie să rezolvăm doar (dz / dx) și (dz / dy).

Să presupunem că vrem x³z² - 5xy⁵z = x² + y³ derivate.
Mai întâi derivăm la x și inserăm (dz / dx). Nu uitați să aplicați regula produsului în locurile potrivite!
x³z² - 5xy⁵z = x² + y³
3x²z² + 2x³z (dz / dx) - 5y⁵z - 5xi⁵(dz / dx) = 2x
3x²z² + (2x³z - 5xi⁵) (dz / dx) - 5y⁵z = 2x
(2x³z - 5xi⁵) (dz / dx) = 2x - 3x²z² + 5Y⁵z
(dz / dx) = (2x - 3x²z² + 5Y⁵z) / (2x³z - 5xi⁵)
Acum facem același lucru pentru (dz / dy)
x³z² - 5xy⁵z = x² + y³
2x³z (dz / dy) -25xi⁴z - 5xi⁵(dz / dy) = 3y²
(2x³z - 5xi⁵) (dz / dy) = 3y² + 25xy⁴z
(dz / dy) = (3y² + 25xy⁴z) / (2x³z - 5xi⁵)