DifiTsi.com

Calculați viteza curentă

Viteza este definită ca viteza unui obiect într-o anumită direcție. Pentru "uz casnic" folosim ecuația v = s / t pentru a determina viteza, unde v reprezintă viteza, s pentru deplasarea totală a obiectului din poziția sa de pornire și t pentru timpul scurs. Cu toate acestea, din punct de vedere tehnic, aceasta vă oferă numai viteza medie a obiectului pe traseul acoperit. Cu ajutorul calculului diferențial putem calcula viteza unui obiect în orice moment. O va face viteza curentă

numit și este prin ecuație v = (ds) / (dt) exprimată, sau, cu alte cuvinte, derivatul ecuației pentru viteza medie a obiectului.

metodă

Partea 1
Calculați viteza curentă

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 1
1
Să începem cu o ecuație pentru viteza în raport cu deplasarea. Pentru a calcula viteza instantanee a unui obiect, avem mai întâi nevoie de o ecuație care ne dă poziția sa (în raport cu deplasarea) la un moment dat. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să fie variabila s izolate pe o parte și T pe de altă parte (nu neapărat izolat), de ex.

s = -1,5 t2 + 10t + 4

  • În această ecuație avem următoarele variabile:
    Shift = s. Distanța pe care un obiect a parcurs-o de la poziția sa inițială. Dacă un obiect este de ex. Mutat 10 de metri în față și 7 de metri în spate, deplasarea lui este de 10-7 = 3 metri (nu 10 + 7 = 17 metri).
    Timpul = t. Motive evidente. De obicei, se măsoară în secunde.
  • Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 2
    2
    Rezulta ecuatia. Derivarea unei ecuații este pur și simplu o altă ecuație care dă panta funcției în fiecare moment. Pentru a determina derivatul ecuației pentru deplasare, trebuie să diferențiați funcția cu această regulă derivată generală: Dacă y = a * xn, atunci derivatul este = a * n * xn-1. Această regulă trebuie să fie pentru fiecare termen pe T-Partea ecuației.
  • Cu alte cuvinte, du-te pe T-Pagina ecuației tale de la stânga la dreapta toți termenii prin. Ori de câte ori te duci la una T loveste, scade 1 din exponent si multiplica intregul termen cu exponentul original. Fiecare termen constant (termeni fără T) dispar deoarece sunt multiplicate cu 0. Acest proces nu este la fel de dificil ca s-ar putea suna - derivă ecuația de mai sus ca exemplu:

    s = -1,5 t2 + 10t + 4
    (2) -1,5t(2-1) + (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0
    -3t1 + 10t0
    -3t + 10

  • Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 3
    3
    înlocui s cu ds / dt. Pentru a clarifica faptul că noua noastră ecuație este o derivare a ecuației inițiale, le înlocuim s cu numele ds / dt. Din punct de vedere tehnic, acest termen înseamnă "derivatul lui s la t". Un mod mai simplu de a gândi la ds / dt este de a vedea expresia ca pantă a primei ecuații la un moment dat. De exemplu, panta graficului la s = -1,5t2 + Pentru a determina 10t + 4 la t = 5, am fi pur și simplu t = 5 introduceți în scurgere.
  • În exemplul nostru, ecuația de derivare ar trebui să pară acum:

    ds / dt = -3t + 10

  • Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 4
    4
    Puneți o valoare pentru t în ecuația nouă pentru a găsi viteza actuală. Odată ce ați determinat derivatul dvs., găsirea vitezei instantanee pentru un anumit moment nu mai este o problemă. Tot ce trebuie să faceți este să selectați o valoare pentru t și să o puneți în ecuația derivatului. Dacă noi, de ex. vrem să găsim viteza instantanee pentru t = 5, tocmai am stabilit 5 pentru t în ecuația ds / dt = -3t + 10. Apoi, rezolvăm această ecuație:

    ds / dt = -3t + 10
    ds / dt = -3 (5) + 10
    ds / dt = -15 + 10 = -5 metri / secundă

  • Asigurați-vă că folosim unitatea "metri / secundă". Deoarece avem de-a face cu o schimbare în metri și un timp în câteva secunde, iar viteza este în general doar trecerea în timp, această unitate se potrivește.

    • Partea 2
    Se evaluează grafic viteza instantanee

    Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 5
    1
    Salvați schimbarea obiectului în timp. Mai sus, am menționat că derivatele sunt pur și simplu formule care ne dau panta ecuației la fiecare punct al timpului al cărui derivat am format. De fapt, dacă specificați deplasarea unui obiect cu o linie într-un grafic, panta liniei la orice moment dat, egală cu viteza instantanee a obiectului în acel moment.
    • Pentru a desena graficul pentru mutarea obiectului, utilizați axa x pentru a specifica ora și axa y pentru a specifica deplasarea. Apoi scorul de puncte prin punerea valorilor pentru t în ecuația dumneavoastră pentru deplasare. Acest lucru vă oferă valori pentru s ca o soluție și puteți introduce în grafic graficele t, s (x, y).
    • Asigurați-vă că graficul poate cădea sub axa x. Dacă linia dvs. cade sub axa x pentru ca obiectul să se miște, înseamnă că obiectul dvs. se mișcă înapoi. Practic, graficul dvs. nu trebuie să meargă în spatele axei y, rareori măsuram viteza pentru obiectele care se mișcă înapoi în timp.
  • Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 6
    2


    Alegeți un punct P și un punct Q care este aproape de P pe linie. Pentru a găsi panta la un singur punct P, vom folosi un truc matematic numit "determina limita". Pentru aceasta avem nevoie de două puncte (P, plus Q, un punct lângă P) pe curbă. Apoi determinăm panta liniei dintre ele, peste și peste, pe măsură ce distanța dintre P și Q scade.
  • Să presupunem că graficul pentru schimbare include punctele (1/3) și (4/7). Dacă vrem să găsim pantă în (1/3) în acest caz, putem spune: (1/3) = P și (4/7) = Q.
  • Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 7
    3
    Găsiți pantă între P și Q. Panta dintre P și Q este diferența dintre valorile y ale lui P și Q, față de diferența dintre valorile x ale lui P și Q. Cu alte cuvinte, H = (yQ - yP) / (XQ - xP), cu H ca panta dintre cele doua puncte. În exemplul nostru, panta dintre P și Q este:

    H = (yQ - yP) / (XQ - xP)
    H = (7 - 3) / (4 - 1)
    H = (4) / (3) = 1,33

  • Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 8
    4
    Repetați acest proces de mai multe ori, apropiindu-vă de Q la P. Scopul dvs. este de a face distanța dintre P și Q mai mică și mai mică până când cele două puncte sunt doar un punct. Cu cât distanța dintre P și Q este mai mică, cu atât mai aproape de panta segmentului dvs. mic, panta de la punctul P. Să facem asta de câteva ori pentru ecuația exemplului nostru. Folosim punctele (2 / 4,8), (1,5 / 3,95) și (1,25 / 3,49) pentru Q și punctul nostru de pornire (1/3) pentru P:

    Q = (2/4, 8): H = (4,8-3) / (2-1)
    H = (1,8) / (1) = 1.8

    Q = (1,5 / 3,95): H = (3,95-3) / (1,5-1)
    H = (0,95) / (0,5) = 1.9

    Q = (1,25 / 3,49): H = (3,49-3) / (1,25-1)
    H = (0,49) / (0,25) = 1,96

  • Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 9
    5
    Estimați panta pentru un interval infinitezimale pe linie. Când Q se apropie și mai aproape de P, H se apropie și mai aproape de pantă în punctul P. Într-un anumit moment, pentru un interval infinit de mic, H devine egal cu panta la P. Deoarece nu se poate măsura sau calcula un interval infinitezimal, estimăm panta lui P de îndată ce devine evidentă din punctele pe care le-am încercat.
  • În exemplul nostru, dacă punem Q mai aproape de P, obținem valorile 1.8 / 1.9 și 1.96 pentru H. Deoarece aceste numere par să se apropie de 2, putem 2 ca o abordare bună pentru pantă la P.
  • Amintiți-vă că panta la un anumit punct al graficului este egală cu derivatul ecuației grafului din acel moment. Din moment ce graficul nostru arată deplasarea obiectului în timp și, așa cum am văzut în secțiunea de mai sus, viteza instantanee a unui obiect este derivatul deplasării sale într-un moment dat în timp, putem de asemenea să spunem că 2 metri / secundă o estimare bună a vitezei instantanee la momentul t = 1.

    • Partea 3
    exemplu sarcini

    Imaginea intitulată
    1
    Găsiți viteza instantanee la momentul t = 4, având în vedere ecuația deplasării s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9. Acest exemplu este ca în exemplul din Secțiunea 1, cu excepția faptului că acum avem de-a face cu o ecuație cubică în locul unei ecuații patratice. Așa că o putem rezolva la fel.
    • În primul rând, determinăm derivatul ecuației noastre:

      s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9
      s = (3) 5t(3-1) - (2) 3t(2-1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
      15T(2) - 6t(1) + 2t(0)
      15T      (2) - 6t + 2

    • Apoi vom folosi valoarea pentru t (4):

      s = 15t(2) - 6t + 2
      15 (4)(2) - 6 (4) + 2
      15 (16) - 6 (4) + 2
      240 - 24 + 2 = 22 de metri / secundă

  • Imaginea intitulată
    2
    Utilizați estimările grafice pentru a estima viteza instantanee (1/3), pentru ecuația de deplasare s = 4t2 - t, pentru a găsi. Pentru această sarcină folosim (1/3) punctul nostru P, dar avem nevoie de mai multe puncte ca puncte Q pentru a aproxima. Apoi trebuie să găsim valorile H și să facem o estimare.
  • Să găsim mai întâi Q-puncte pentru t = 1.5 / 1.1 și 1.01.

    s = 4t2 - T

    t = 2: s = 4 (2)2 - (2)
    4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, deci Q = (2/14)

    t = 1,5: s = 4 (1,5)2 - (1.5)
    4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, deci Q = (1,5 / 7,5)

    t = 1,1: s = 4 (1,1)2 - (1,1)
    4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, adică Q = (1,1 / 3,74)

    t = 1,01: s = 4 (1,01)2 - (1.01)
    4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, adică Q = (1,01 / 3,0704)

  • Apoi, determinăm valorile noastre H:

    Q = (2/14): H = (14-3) / (2-1)
    H = (11) / (1) = 11

    Q = (1,5 / 7,5): H = (7,5-3) / (1,5-1)
    H = (4,5) / (0,5) = 9

    Q = (1,1 / 3,74): H = (3,74-3) / (1,1-1)
    H = (0,74) / (0,1) = 7.3

    Q = (1,01 / 3,0704): H = (3,0704-3) / (1,01-1)
    H = (0,0704) / (0,01) = 7.04

  • Cum ne apropiem de valorile noastre H, putem spune asta 7 metri / secundă o aproximare bună pentru viteza instantanee la (1/3) este.

    • Sfaturi

    • Deplasarea este similară cu distanța, dar are o direcție, astfel încât deplasarea devine vector și viteza este un scalar. Schimbarea poate fi negativă, dar distanța este întotdeauna pozitivă.
    • Ecuația, relația dintre Y (deplasare) și X (timp) descrie poate fi foarte simplu, de exemplu, Y = 6x + 3. În acest caz, terenul este constantă și nu este necesară calcularea derivatului pentru a calcula panta, care este conform formularului de bază pentru linii drepte, Y = mx + b, 6.
    • Pentru a determina accelerația (modificarea vitezei în timp), puteți aplica metoda din Partea 1, care calculează derivatul funcției de deplasare. Apoi faceți o altă derivare, de această dată din funcția de derivare. Cu aceasta aveți o ecuație pentru a determina accelerația în orice moment - trebuie doar să vă folosiți timpul.
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit