Factorizați trinomiali

În algebră, un trinomial este definit ca un polinom constând din suma a trei componente sau termeni. Cel mai cunoscut tip este polinomul cuadrat (ax²

conținut

Metodă

Metoda 1pătrat trinomi
Metoda 2determinarea binomilor corecte în cazuri speciale
Metoda 3polinoamele pătrată într-o variabilă ascunsă
Metoda 4criteriul lui eisenstein
Metoda 5polinoamele pătrată într-o variabilă

Sfaturi
Avertismente
Ce ai nevoie

+bx + c), dar nu toate trinomialurile sunt pătrate. Unele au mai multe variabile sau termeni de ordin superior.

Polinoamele au multe aplicații în matematică și știință, iar factoringul trinomialilor poate fi utilizat în multe domenii în care sunt necesare tehnici algebrice. Iată ghidul de factoring în trinomials. Există cazuri speciale în care pot fi luate în considerare trinomiali. Dacă nu se aplică niciunul dintre aceste cazuri speciale, poate fi necesar să se folosească metode generale pentru factorizarea polinoamelor de ordin superior.

metodă

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 1

Desenați toți factorii comuni din polinom. Dacă toți pre-factorii din trinomial sunt multiplii unui număr dat, acel număr poate fi tras înainte sau dacă fiecare termen al trinomului are o variabilă comună.

Metoda 1
Pătrat trinomi

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 2

Ordonați trinomul astfel încât termenii să fie ordonați ordonat după ordine, începând cu cea mai mare ordine și apoi scăzând. În consecință, 5 + x² + 6x se scrie ca x² + 6x + 5.

În Trinom 3x² + 18x + 15, fiecare prefactor este un multiplu de 3, deci poate fi scris ca 3 (x²+ 6x + 5).
În Trinom - x² - 2x - 1, fiecare termen este un multiplu de -1, deci poate fi considerat (-1) (x² + 2x + 1) sau - (x² + 2x + 1) pot fi scrise.
În Trinom 3x² y + 3xy - 60y, fiecare termen este un multiplu de 3y, adică 3y (x² + x-20).

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 3

Scrieți Trinomul ca produs al două binomiale. Un binomial este un polinom cu 2 termeni. Aici căutăm în mod special binomii de forma mx + n, unde m și n sunt constante. Primul termen din fiecare dintre cele două binomială este unul dintre factorii din primul termen al axului trinomial²), iar al doilea termen în fiecare dintre binomiali este unul dintre factorii celui de-al treilea termen (c). Al doilea termen din trinomial (bx) se obține prin înmulțirea primul termen din primul binom cu al doilea termen al doilea binom și adăugarea produsului din primul termen, în al doilea binom și al doilea termen din primul binom.

Aceasta are ca rezultat trinomul x² + 6x + 5: Primul termen din fiecare binomial este x, deoarece x ori x dă x². Ultimii termeni din fiecare binomial sunt 5 și 1 deoarece 5 ori 1 este 5. Factorii binomiali sunt (x + 5) (x + 1). Acest lucru poate fi verificat prin înmulțire.
Dacă există mai mulți factori posibili pentru unul dintre numere, trebuie găsit valoarea corectă. Pentru trinomul x² + x - 20 este prima valoare în fiecare binomă x. Cantitatea de c, 20, poate fi descompus în mai multe moduri: 1 20 de ori, de 10 ori de 2 sau de 5 ori 4. Dacă ne uităm la valoarea b este 1, termenii doilea trebuie să adăugați până la 1 în polinoame . Deoarece valoarea reală a c este negativă - 20, unul dintre termeni trebuie să fie negativ, deoarece un număr pozitiv înmulțit cu un număr negativ dă un număr negativ. Din moment ce 5 - 4 (sau 5 plus - 4) este 1, binomialile corecte sunt (x + 5) (x - 4).

Metoda 2
Determinarea binomilor corecte în cazuri speciale

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 4

Verificați dacă prefactorul este prime în primul sau al treilea termen al binomului. O primă poate fi împărțită numai cu 1 și cu ea însăși. Aceasta reduce numărul de binomiali posibili. În exemplul de mai sus, x² + 6x + 5, există doar două binomuri posibile, (x + 5) (x + 1), deoarece 5 este un număr prime.

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 5

Verificați dacă trinomul întâlnește prima formulă binomică. Pentru asta, în toporul Trinom² + bx + c a și c sunt pătrate și b trebuie să fie de 2 ori rădăcina unei ori rădăcina c. Apoi cele două binomiale sunt egale, (x + root c) (x + root c).

Trinomul x² + 6x + 9 satisface prima formulă binomică, iar binomialurile sunt (x + 3) (x + 3). Valoarea lui a este 1, care este 1 pătrat, valoarea lui c este 9, care este de 3 pătrat, iar valoarea b este 6, care este de 2 ori rădăcina unei ori rădăcina c, 2 (1 * 3).
Trinomul 4x² + De asemenea, 12x + 9 satisface prima formulă binomică, iar binomialurile sunt (2x + 3) (2x + 3). Valoarea lui a este 4, care este 2 pătrat, valoarea lui c este din nou 9 sau 3 pătrat, iar valoarea lui b este de 12 ori, de 2 ori rădăcina unei ori rădăcina lui c, 2 (2 * 3) .
Rețineți că pentru prima formulă binomică valorile a și c trebuie să fie întotdeauna pozitive. Dacă ambele sunt negative, mai întâi exclude -1 pentru ca a și c să devină pozitive, care apoi schimbă și semnul lui b.

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 6

Verificați dacă trinomul îndeplinește cea de-a treia formulă binomică. Pentru aceasta trebuie să fie toporul de formă² - c, unde a și c trebuie să fie pătrate (pot fi considerate trinomiale cu b = 0). Binomialurile asociate sunt aceleași, numai semnul ultimului termen este diferit.

De exemplu, 4 x² - 9 poate fi în binom (2x + 3) (2x - 3) sunt împărțite, deoarece rădăcina pătrată a 2 este 4 și 3 este rădăcina pătrată a 9. Dacă multiplicată binom, obținut 4x² + 6x - 6x - 9 sau doar 4x² - nouă

Metoda 3
Polinoamele pătrată într-o variabilă ascunsă

Unele trinomuri par a fi de ordin superior, dar sunt în principiu doar a doua ordine. Odată ce îți dai seama că poți trata așa.

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 7

Uită-te la variabilele din fiecare termen. De exemplu, x⁶ - 7x³ + 12 din ordinul 6, dar după substituție u = x³ acesta va deveni u² - 7u + 12. Aceasta se aplică și polinomilor multivariate. De exemplu x⁵y - 7x³y² + 12XY³ poate la xy³(u² - 7u + 12) sunt simplificate prin înlocuirea u = x²/ Y. O astfel de substituire este întotdeauna posibilă dacă suma ordinelor a doi termeni este dublă a termenului rămas.

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 8

Dacă puteți face o astfel de substituție, factorizați polinomul mai simplu, în acest caz u² - 7u + 12 = (u-3) (u-4)

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 9

Deblocați substituția și prezentați soluția cu variabila inițială x, adică x⁶ - 7x³ + 12 = (x³ - 3) (x³ - 4). Dacă este posibil, reduceți fiecare factor.

Metoda 4
Criteriul lui Eisenstein

Această teoremă este valabilă pentru polinomi cu orice număr de termeni, dar este deosebit de simplă pentru trinomiali, deoarece mulți coeficienți sunt 0. Nu este o tehnică de factoring, dar poate recunoaște când un polinom este ireductibil.

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 10

Găsiți toate primii p care împărtășesc atât termenul constant cât și termenul mediu.

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 11

Pentru fiecare dintre numere, verificați următoarele condiții.

Termenul constant trebuie să fie un multiplu de p, dar nu p² fie.
Termenul de vârf nu trebuie să fie un multiplu al p.

Imaginea cu titlul Factor Trinomials Pasul 12

Dacă există o primă care împarte toți coeficienții, cu excepția celui de vârf, dar împarte termenul constant doar o singură dată, atunci polinomul este ireductibil. Acest criteriu ajută la determinarea rapidă a celor 14x⁹ + 45x⁴ + 51 este ireductibil deoarece numărul primei 3 împarte 45 și 51, dar nu 14 și 9 nu împarte 51.

Metoda 5
Polinoamele pătrată într-o variabilă

Trinomialele de ordin superior în mai multe variabile pot fi patrate sau lineare într-una din variabile.

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 13

Luați în considerare un trinomial, cum ar fi 4x³y² - 5x⁴ + 15Y. Este de ordin 5 în x și y, dar numai în ordinul 2 în y.

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 14

Scrieți-l ca un polinom în această variabilă și tratați toate celelalte variabile ca coeficienți, adică scrieți-l ca (4x³) y² + (15) y - (5x⁴).

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 15

Soluiți-o pentru y în funcție de x folosind formula patratică.

Sfaturi

Puteți folosi problema trinomială din orice carte de algebră pentru a practica.

avertismente

Deși este adevărat pentru polinomii patratici, trinomele factorizabile nu sunt, în general, neapărat produsul a două binomiale. Un exemplu de exemplu este x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).