DifiTsi.com

Determinați zerourile unei ecuații patrate

O ecuație cuadratoare este o ecuație a formei topor2

+ bx + c = 0, unde a ≠ 0. "Determinarea rădăcinilor unei ecuații patrate" poate părea înspăimântător, dar nu este - determinarea "zerourilor" este pur și simplu aceeași ca și rezolvarea ecuației pentru x! Orice ecuație patratică poate fi calculată folosind formula x = (-b +/- √ (b2 - 4ac)) / 2a fi rezolvat. În plus, în funcție de ce fel de ecuație aveți, există mai multe trucuri pe care le puteți utiliza pentru a determina rădăcinile.

metodă

Metoda 1
Cu ajutorul formulei patrate

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 1
1
Scrieți ecuația în formă pătrată. Definiția oficială a unei ecuații patratice este: o ecuație polinomală de ordinul doi într-o variabilă, x, în care o ≠ 0. În termeni simpli, aceasta înseamnă doar că este o ecuație cu o variabilă (de obicei x) în care cel mai mare exponent al variabilei 2 este. În general, le putem numi ca topor2 + bx + c = 0 Scrie.
  • Pentru a pune o ecuație în formă patratică, trebuie să punem toți termenii pe o parte a semnalului egal, așa că noi 0 pe de altă parte. De exemplu, dacă luăm ecuația 2x2 + 8x = -5x2 - 11 în formă pătrată, o putem face astfel:
  • 2x2 + 8x = -5x2 + 11
  • 2x2 + 5x2 + 8x = + 11
  • 2x2 + 5x2 + 8x - 11 = 0
  • 7x2 + 8x - 11 = 0 . Rețineți că acesta este acum axul standard menționat mai sus2+ bx + c = 0 este forma.
  • Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 2
    2
    Puneți a, b și c în x = (-b +/- √ (b2 - 4ac)) / 2a. Determinarea zerourilor unei ecuații cuantice cu formula quadratică este ușoară - pur și simplu inserați a, b și c în formulă și calculați-o! Deoarece forma unui topor etalier patrat2+ bx + c = 0, aceasta înseamnă că numărul înainte de x2-Termenul a este, numărul înainte de termenul x este b, iar numărul fără termen x este c.
  • În ecuația noastră de exemplu 7x2 + 8x - 11 = 0 avem a = 7, b = 8 și c = -11.
  • Dacă punem asta în formulă, ajungem x = (-8 +/- √ (82 - 4 (7) (- 11))) / 2 (7)
  • Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 3
    3
    Calculează-l. Dacă punem valorile pentru a, b și c în formula, atunci calculul este doar o chestiune de operații simple algebra până când ajungem la simbolul +/-. Vom face acest lucru în etapa următoare.
  • În exemplul nostru se calculează după cum urmează:
  • x = (-8 +/- √ (82 - 4 (7) (- 11))) / 2 (7)
  • x = (-8 +/- √ (64 - (28) (- 11)) / (14)
  • x = (-8 +/- √ (64 - (-308)) / (14)
  • x = (-8 +/- √ (372)) / (14)
  • x = (-8 +/- 19,29) / (14) . Hai să ne oprim aici pentru moment.
  • Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 4
    4
    Adăugați și scădeați la două Pentru a obține rezultate. Una dintre capcanele în determinarea rădăcinilor unei ecuații patrate este că în mod normal două rezultate corecte (Dacă rezolvați ecuații patrate pentru școală, nu uitați să adăugați atât pentru a obține scorul complet!). Pentru a obține ambele soluții, finalizați calculul făcând clic o dată + și o dată - folosind.
  • Când adăugăm noi:
  • x = (-8 + 19,29) / (14)
  • x = 11,29 / 14
  • x = 0,81
  • Când scădem, obținem:
  • x = (-8 - 19,29) / (14)
  • x = (-27,29) / (14)
  • x = -1,95 .
  • Deci soluțiile noastre 0,81 și -1,95.
  • Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 5
    5
    Verificați rezultatele. Dacă aveți timp, atunci este bine să verificați din nou zerourile după ce le-ați calculat. Deoarece rezolvarea unei ecuații patrate necesită un lanț lung de operații matematice, se pot face rapid greșeli stupide care afectează rezultatul. Din fericire, metodele simple de control de mai jos ar trebui să arate dacă ai ajuns la zero.
  • Cea mai rapidă și mai ușoară modalitate de a vă verifica rezultatele este să introduceți valorile pentru a, b și c într-un program automat pentru rezolvarea ecuațiilor patratice. Puteți găsi cu ușurință astfel de programe online - de exemplu aici unul dintre mathisfun.com.
  • Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 6
    6
    Alternativ, puteți verifica manual rezultatul. Dacă vă aflați într-o situație în care nu puteți utiliza un instrument online convenabil pentru a vă verifica scorul, puteți vedea în continuare dacă aveți zero-urile corecte introducându-le în ecuația inițială pentru x. Dacă ecuația ta devine zero (sau cel puțin foarte aproape - de obicei o problemă de rotunjire), atunci ai zero-uri corecte.
  • Să avem soluțiile noastre în 7x2 + Introduceți 8x - 11 = 0 pentru a vedea dacă acestea sunt corecte:
  • 7 (-1.95)2 + 8 (-1,95) - 11
  • 26,62 - 15,6 - 11
  • 26,62 - 26,5 = 0,02 - este aproape zero, diferența provine probabil din rotunjire și nu din cauza faptului că rezultatul este greșit.
  • 7 (0.81)2 + 8 (0,81) - 11
  • 4,59 + 6,48 - 11 = 0,07 - vezi mai sus. Soluțiile noastre sunt cel mai probabil corecte.

    • Metoda 2
    Determinați zerouri prin factoring

    Factorizați dacă "a" este egal cu 1

    Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 7
    1
    Mai întâi puneți ecuația în formă patrată. Deși formula brută descrisă mai sus este un instrument valoros, nu este singura modalitate de a rezolva ecuațiile patratice. De exemplu, unele ecuații patratice pot fi ușoare factorizata fiind scrise diferit, astfel încât acestea să fie ușor de rezolvat. Cu toate acestea, pentru început dorim ecuația în forma standard patratică: ax2 + bx + c = 0.
    • În această secțiune Să ne ocupăm doar de ecuațiile cuadratoare în care "a" = 1. Dacă a nu este egală cu 1, atunci procesul este mai greu (vezi mai jos). Lasă-ne x2 + 7x + 12 = 0 ia în considerare o ecuație de exemplu în această secțiune. În etapele următoare vom factoriza și rezolva ecuația.
  • Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 8
    2
    Scrieți ecuația în forma (x + _) (x + _) = 0. "Factoringul" este doar o expresie care înseamnă "găsirea termenilor care se înmulțesc împreună generând un anumit termen". În acest caz, încercăm să descompunem ecuația quadratică în factorii lor. De la termenul x cu cel mai mare exponent x2 (sau, cu alte cuvinte, x * x), să începem prin scrierea formei facturate a ecuației: (x + _) (x + _) = 0.
  • Rețineți golurile - în etapele următoare le vom completa în completarea ecuației facturate.
  • Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 9


    3
    Determinați factorii termenului "c". Apoi, scriem toate numerele care se înmulțesc unul cu celălalt, ducând c la ecuația patratică. Ele sunt factorii.
  • În ecuația noastră (x2 + 7x + 12 = 0) este 12 c. Numerele înmulțite cu 12 sunt: ​​1 și 12, 2 și 6 și 3 și 4. Asta este, factorii de 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12.
  • Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 10
    4
    Găsiți cei doi factori ai c care adaugă "b" unul la celălalt. Din lista de factori ai c, alegeți cei doi adăugat Rezultatul b. Pentru a spune din nou clar, nu căutăm factori b - doar două numere care ajung până la b.
  • În ecuația noastră (x2 + 7x + 12 = 0), b este 7. Lista noastră de factori din c este 1, 2, 3, 4, 6 și 12. 3 și 4 add up 7, deci acestea sunt numerele pe care le cautam.
  • Dacă se află în lista de factori de la c nu există două numere care adaugă până la 7, atunci spunem că ecuația nu este "factorizabilă întreg". Practic, pentru scopurile noastre, aceasta înseamnă că ecuația nu poate fi luată în considerare și trebuie să folosim o altă metodă pentru a determina zerourile.
  • Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 11
    5
    Completați spațiile din ecuația factorizată. Acum, trebuie doar să completați spațiile goale în forma facturată a ecuației pe care am pregătit-o cu cele două numere pe care tocmai le-am selectat din lista Factori. Aceasta ne dă forma factorizată a ecuației noastre quadratice originale.
  • Să completăm semnele în forma contrară a ecuației noastre patrate: (x + 3) (x + 4) = 0.
  • Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 12
    6
    Rezolvați după "x" pentru ambele valori. Acum trebuie doar să setăm expresiile în paranteze egale cu zero și să rezolvăm pentru x să găsim rădăcinile ecuației noastre quadrate originale. Deoarece expresiile din paranteze se înmulțesc una cu cealaltă, întreaga ecuație este zero dacă oricare dintre termeni este egal cu zero. Prin urmare, zerourile ecuației sunt valorile x care fac ca cele două expresii paranteze să fie zero.
  • În exemplul nostru, expresiile paranteze (x + 3) și (x + 4) = 0. Dacă am setat ambele egale cu zero, obținem:
  • x + 3 = 0: x = -3
  • x + 4 = 0: x = -4
  • Rețineți că am putea verifica aceste rezultate așa cum am fi făcut dacă am fi obținut rezultatele folosind formula patratică.

    • Factorizați dacă "a" ≠ 1

    Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 13
    1
    Împărțiți "a" în factorii săi. Dacă a într-o ecuație cuadratoare nu este egală cu 1, atunci este puțin mai greu de factorizat, dar poate fi încă posibil. Începeți prin a distruge "a" în factorii săi - deoarece avem un x2 în termen, atunci ambii factori conțin un x.
    • Lasă-ne în această secțiune 2x2 + 14x + 12 = 0 considerați ca ecuația noastră de exemplu. În acest caz este 2x2 termenul nostru. Deoarece 2 este un număr prime, are doar factorii 2 și 1. Asta înseamnă că factorii de 2x2 pentru scopurile noastre 2x și x sunt.
    • Rețineți că pot exista cazuri în care există mai mult de doi factori pentru un termen. Când vorbim cu 8x2 De exemplu, avem 8x și x sau 2x și 4x. În acest caz, trebuie să testați ambele cazuri pentru a determina numerele corespunzătoare.
  • Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 14
    2
    Scrieți ecuația fracționată în forma ((factor 1) + _) ((factor 2) + _). Începem cu factorizarea la fel ca în secțiunea anterioară. Cu toate acestea, de data aceasta, cel puțin unul dintre termenii noștri x are un coeficient (uneori ambii au unul - depinde de factorii în care v-ați descompus termenul).
  • În exemplul nostru, scriem ecuația după cum urmează: (2x + _) (x + _).
  • Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 15
    3
    Determinați factorii de la c. Această parte este exact aceeași ca în secțiunea anterioară - căutăm numerele care se înmulțesc c.
  • Deoarece în exemplul nostru c există încă 12, lista noastră de factori este aceeași: 1, 2, 3, 4, 6 și 12.
  • Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patrate 16
    4
    Introduceți două numere din lista care dau randament b. Această parte nu este atât de ușoară - să alegem două numere care, atunci când sunt introduse în forma factorizată a ecuației, dau b din ecuația inițială. Totuși, nu uitați că de data aceasta nu avem doar două xs în forma facturată a ecuației - avem cel puțin un termen x cu un coeficient.
  • În exemplul nostru b este de 14x. Adică, dorim să alegem două numere din lista factorilor de c, dacă se înmulțește câte una cu 2x și cealaltă cu x, se adaugă până la 14x.
  • Să încercăm aceiași factori ca înainte: 3 și 4. 3 * 2x = 6x, 4 * x = 4x. 4x + 6x = 10x. Nu funcționează, așa că încercăm să o întoarcem. 4 * 2x = 8x, 3 * x = 3x. 8x + 3x = 11x. Nu primim 14x, indiferent de modul în care încercăm, adică, acești doi factori nu sunt cei drepți.
  • Să încercăm acum 6 și 2. 6 * 2x = 12x, 2 * x = 2x. 12x + 2x = 14x. Ferește-te! Luăm 6 și 2 pentru a umple spațiile în ecuația noastră factorizată.
  • Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 17
    5
    Puneți numerele în spații și rezolvați pentru x ca de obicei. Acum luați cei doi factori găsiți pentru a le plasa în spațiile ecuației factorizate. Nu uitați că trebuie să le puneți în locurile potrivite, astfel încât atunci când se înmulțește cu termenii x, obținem dreptul b. Apoi setați fiecare expresie paranteză egală cu zero și rezolvați-o ca mai sus.
  • În acest caz, ecuația noastră este (2x + 2) (x + 6) = 0. Dacă setăm fiecare paranteză egală cu zero, obținem:
  • 2x + 2 = 0
  • 2x = -2: x = -1
  • x + 6 = 0: x = -6

    • Sfaturi

    • Nu uitați că o rădăcină poate fi atât pozitivă, cât și negativă. Nu uitați să adăugați și a doua soluție.
    • Notă: Pentru unele ecuații patrate, există o soluție avansată numită "completare patratică".
    • Nu veți crede acest lucru, dar factoringul și adăugarea patrată sunt doar două modalități greoaie de a rezolva ecuații folosind formula patratică. Poți să te uiți la derivarea formulei patrate pentru o descompunere bună, dar să fii avertizat - devine complicat!
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit