DifiTsi.com

Calculați rădăcina pătrată cu mâna

În zilele de dinaintea calculatoarelor, elevii și profesorii au trebuit să calculeze rădăcinile pătrate cu mâna. Au apărut multe metode diferite pentru a aborda această sarcină descurajantă, dintre care unele oferă o estimare brută, în timp ce altele calculează valoarea exactă. Dacă doriți să știți cum să calculați rădăcinile pătrate cu operații aritmetice simple, începeți cu pasul 1 și aflați.

metodă

Metoda 1
Utilizați factorizări primare

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 1
1
Împărțiți-vă numărul într-un număr mai mic de pătrați. Această metodă utilizează factorii unui număr pentru a determina rădăcina pătrată (în funcție de numărul de pornire, rezultatul poate fi o soluție numerică exactă sau o aproximare). Factorii unui număr sunt numerele care se înmulțesc împreună și dau numărul original. Deci, puteți, de exemplu spune că numărul 8 are factorii 2 și 4. Din moment ce 2 * 4 = 8. Pe de altă parte, numerele pătrate sunt numere întregi care sunt pătratul unui alt număr întreg. 25, 36 și 49 sunt de ex. Numerele pătratului, așa cum sunt numite și 52, 62, și 72 pot fi scrise. Factorii numărului pătrat sunt, după cum probabil ați ghicit, factori care sunt, de altfel, chiar pătrate. Pentru a găsi o rădăcină pătrată a factorizării primare, divizați mai întâi numărul dvs. în factori de număr pătrați mai mici.
  • Să folosim următorul exemplu: Vrem să calculam rădăcina pătrată de 400 de mână. Așadar, încercăm mai întâi să divizăm numărul în pătrate mai mici. Din moment ce 400 este un multiplu de 100, trebuie de asemenea sa fie divizibil cu 25 - un numar patrat. Împărțim 400 în cap cu 25 și ajungem la 16. 16 coincidențial este și un număr pătrat. Așa că putem adăuga 400 la pătrate 25 și 16 împărțiți pentru că 25 × 16 = 400.
  • Noi scriem aceasta: sqrt (400) = sqrt (25x16)
  • Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 2
    2
    Trageți rădăcina din factorii dvs. Regula de produs pentru rădăcinile pătrate spune că pentru toate numerele date o și b , Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Din cauza acestei proprietăți, putem lua rădăcina pătrată a celor doi factori și le putem înmulți pentru a obține rezultatul final.
  • În exemplul nostru, am trage rădăcina celor 25 și 16:
  • Sqrt (25 × 16)
  • Sqrt (25) x sqrt (16)
  • 5 × 4 = 20
  • Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată de mână Pasul 3
    3
    Dacă numărul dvs. de pornire nu poate fi perfect luat în considerare, reduceți răspunsul la cel mai simplu termen posibil. În realitate, numărul pe care doriți să-l rădăcina nu se potrivește întotdeauna perfect în factori de număr pătrat. În aceste cazuri, nu puteți da răspunsul exact ca număr întreg. Dar, folosind factorii de număr pătrați pe care îi puteți găsi, puteți transforma rădăcina într-o problemă mai mică, mai simplă și mai ușor de manevrat. Pentru a face acest lucru, reduceți numărul dvs. la o combinație de pătrate și factori non-pătrați și apoi simplificați.
  • Luați rădăcina pătrată din 147 ca exemplu. 147 nu poate fi împărțit într-un produs cu două numere pătrate, deci nu avem un întreg ca rezultat, ca în primul exemplu. Cu toate acestea, 147 este produsul unui număr pătrat și un număr diferit: 49 și 3. Putem folosi aceste informații pentru a obține cea mai simplă soluție posibilă:
  • Sqrt (147)
  • = Sqrt (49x3)
  • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
  • = 7 × sqrt (3)
  • Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 4
    4
    Dacă este necesar, estimați rezultatul. Deci, dacă v-ați simplificat rădăcina, este de obicei relativ ușor să dați o estimare brută a rezultatului final numeric prin estimarea și multiplicarea valorii rădăcinii rămase. O modalitate de a face acest lucru este de a găsi pătraturile chiar deasupra și sub numărul dvs. Ca rezultat, știți că rezultatul dvs. trebuie să fie undeva între aceste numere, astfel încât să îl puteți estima.
  • Să ne întoarcem la exemplul nostru: Da 22 = 4 și 12 = 1, știm că Sqrt (3) trebuie să fie între 1 și 2 - probabil mai aproape de 2 decât de 1. Estimăm 1.7. 7 × 1,7 = 11.9. Dacă verificăm acest răspuns cu calculatorul, constatăm că suntem aproape de valoarea reală, 12.13, sunt.
  • Acest lucru funcționează chiar și cu numere mai mari. Sqrt (35) trebuie să fie undeva între 5 și 6, probabil în apropierea celui de-al 6-lea 52 = 25 și 62 = 36. 35 este între 25 și 36, deci rădăcina pătrată trebuie să fie între 5 și 6. Din moment ce 35 este doar unul la 36 de departe, putem spune cu siguranță că numai rădăcina pătrată ceva este mai mică de 6. Cecul cu ajutorul calculatorului ne dă valoarea 5.92 - deci am avut dreptate.
  • Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată de mână Pasul 5
    5
    Alternativ, reduceți numărul la primul său factor ca prim pas. Găsirea factorilor patratici nu este neapărat necesară dacă puteți determina factorii prime (factori care sunt ambii numere prime). Scrieți numărul în cei mai mici factori posibili. Apoi, verificați factorii pentru perechi egale. Dacă puteți găsi doi factori egali, eliminați atât de la rădăcină, cât și de a scrie o cei doi înainte de rădăcină.
  • Să încercăm pentru a determina rădăcina pătrată de 45 utilizând această metodă. Știm că 45 = 9 × 5. De asemenea, 9 = 3 × 3. Deci putem scrie rădăcina pătrată cu următorii factori: Sqrt (3 × 3 × 5). Acum, eliminați doar 3 și trageți unul dintre ele la rădăcină, pentru a obține rădăcina pătrată simplificată: " (3) sqrt (5). " Acum este ușor de estimat.
  • Ca un exemplu final, încercăm să găsim rădăcina pătrată de 88:
  • Sqrt (88)
  • = Sqrt (2 × 44)
  • = Sqrt (2 × 4 × 11)
  • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Avem mai multe 2 în rădăcina noastră. Din moment ce 2 este un număr prime, putem elimina o pereche și scrie un 2 înainte de rădăcină.
  • = Deci rădăcina noastră pătrată simplificată este (2) sqrt (2 x 11) sau (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Acum putem estima Sqrt (2) și Sqrt (11) și găsim un răspuns estimat dacă vrem asta.

    • Metoda 2
    Calculați rădăcinile pătrate manual

    Utilizați divizia scrisă

    Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 6
    1
    Separați numerele numărului dvs. în perechi. Această metodă funcționează la fel ca diviziunea scrisă și oferă acest lucru exact Scorul pătrat-pătrat la fața locului. Deși nu este obligatoriu, procesul este mai ușor de înțeles atunci când împărțiți spațiul de lucru în cadrane funcționale. Mai întâi, trageți o linie verticală care vă împarte spațiul de lucru în două cadrane. Apoi, trageți o linie orizontală mai scurtă în partea de sus a cvadrantului dvs. drept pentru a împărți zona dreaptă într-un cadran mai mic și mai mare. Acum, împărțiți numerele numărului dvs. în perechi de două, începând cu zecimală. De exemplu, de la 79,520,789,182,47897, "7 95 20 78 91 82, 47 89 70". Scrieți numărul în panoul din stânga.
    • De exemplu, să încercăm să calculam rădăcina pătrată de 780,14. Glisați cele două linii pentru a vă diviza spațiul de lucru și scrieți 7 80. 14 în cvadrantul stâng.
  • Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 7
    2
    Găsiți cel mai mare număr întreg n, a cărui pătrată este mai mică sau egală cu numărul (sau perechea de numere) din extrema stângă. Începeți cu numărul de pornire cu locurile din stânga. Nu contează dacă e un număr sau o pereche. Găsiți un număr pătrat mai mic sau egal. Apoi trageți rădăcina pătrată a acestui număr pătrat. Acest număr este n. Scrieți în zona superioară din dreapta și scrieți pătratul n în zona inferioară din dreapta.
  • În exemplul nostru, cifra din stânga este numărul 7. Știm: 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9. Astfel n = 2, deoarece 2 este cel mai mic număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu 7. Scrieți 2 în zona din dreapta sus. Aceasta este prima cifră a soluției noastre. Scrieți 4 (pătratul de 2) în zona din dreapta jos. Acest număr este relevant pentru pasul următor.
  • Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată de mână Pasul 8
    3
    Scădeți numărul primit doar de la perechea din stânga. Ca și în diviziunea scrisă, în etapa următoare trebuie să scăpăm numărul pătrat pe care tocmai l-am găsit din zona pe care tocmai am lucrat. Scrieți numărul sub zonă și scade, scrieți rezultatul de mai jos.
  • În exemplul nostru, scrieți 4 sub 7, apoi scade. Primim răspunsul 3.
  • Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 9
    4
    Glisați următoarea pereche de numere în partea stângă. Trageți următoarea zonă numărul a cărui rădăcină pătrată vrem să găsim lângă valoarea scursă pe care tocmai am calculat-o. Multiplicați numărul în cvadrantul din dreapta sus cu 2 și scrieți rezultatul în cvadrantul din dreapta jos. Eliberați spațiu pentru multiplicare în pasul următor, scriind lângă numărul "" _ × _ = "".
  • În exemplul nostru, următoarea pereche este "80": scrieți "80" lângă 3. Dublul numărului din dreapta sus este 4: astfel scrie "4_ × _ =" în cvadrantul din dreapta jos.
  • Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 10
    5
    Completați substituenții. Trebuie să completați toate caracterele din dreapta cu același număr întreg. Pentru aceasta folosiți cel mai mare număr întreg, ceea ce înseamnă că multiplicarea din partea dreaptă este încă mai mică sau egală cu numărul curent din partea stângă.
  • În exemplul nostru, dacă vom completa spațiile libere cu 8, vom obține 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Deci, un număr mai mare de 380. Deci, 8 este prea mare. Deci sa incercam 7. Scrie 7 in spatiile goale si rezolva: 4 (7) × 7 = 329. Deci, cu 7 avem 329, care este mai mic de 380. Scrie 7 in partea dreapta sus. Aceasta este a doua cifră a soluției noastre.
  • Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 11
    6
    Extrageți numărul care tocmai a fost calculat din numărul curent din stânga. Continuați cu principiul divizării scrise și scade corespunzător. Luați rezultatul problemei de multiplicare în pătratele din dreapta și scade-l din numărul curent din stânga, scrieți răspunsul de mai jos.
  • În exemplul nostru: Scoateți 329 din 380 și veți primi 51.
  • Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 12
    7
    Repetați pasul 4. Glisați următoarea secțiune a numărului în jos. Când ajungeți la zecimală, scrieți o zecimală în răspunsul dvs. din dreapta. Apoi, multiplicați numărul de pe partea dreaptă cu 2 și scrie-l lângă calculul de multiplicare deschis ("_ × _"), exact ca mai sus.
  • În exemplul nostru: Deoarece acum ajungem la zecimal, vom scrie o zecimală în soluția curentă de sus dreapta. Apoi tragem perechea următoare (14) în jos. De două ori numărul din dreapta (27) dă 54, deci scrieți "54 _ × _ =" în cvadrantul din dreapta jos.
  • Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 13
    8


    Repetați pașii 5 și 6. Găsiți cea mai mare cifră pentru a înlocui caracterele și faceți multiplicarea.
  • În exemplul nostru, 549 de ori 9 dă 4941 și acest rezultat este mai mic decât numărul din stânga (5114). 549 × 10 = 5490, care este prea mult. Scrieți un 9 în dreapta sus și scădeți rezultatul înmulțirii de numărul din stânga: 5114 minus 4941 dă 173.
  • Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 14
    9
    Pentru a calcula mai multe cifre, trageți în jos o pereche de zerouri și repetați pașii 4, 5 și 6. Pentru o mai mare acuratețe, repetați procesul și găsiți sute, mii de ani, etc., ale soluției dvs. Repetați procesul până când sunteți mulțumit de exactitatea soluției.

    • Înțelegeți procesul

    Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 15
    1
    Pentru un pătrat S, ia în considerare numărul pentru care calculați rădăcina pătrată. Deoarece zona unui pătrat L2 este, cu L ca lungimea unei pagini, calculați cu rădăcina pătrată a lui S, lungimea L a unei laturi a pătratului.
  • Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 16
    2
    Dați fiecărui punct al răspunsului dvs. o scrisoare. Indicați prima cifră a L (rădăcina pătrată pe care dorim să o calculam) ca A. B este a doua cifră, C a treia și așa mai departe.
  • Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 17
    3
    Dați fiecărei perechi de cifre un nume de variabilă. Fie ca prima parte să fie variabila So, a doua parte Sb, etc.
  • Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 18
    4
    Înțelegeți legătura cu diviziunea scrisă. Ca și în cazul unei divizări scrise, unde sunteți întotdeauna interesat doar în următorul loc, sunteți interesat doar de următoarele două locuri la un moment dat (ceea ce va genera în cele din urmă o cifră a rădăcinii pătrate).
  • Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 19
    5
    Găsiți cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu So este. Prima cifră A a acestei rădăcini pătrate este atunci cel mai mare întreg, So nu depășește (înseamnă că A este ales astfel încât A ² = Sa ≤ (A + 1) ²). În exemplul nostru, S esteo = 7 și 2² ≤ 7 < 3², deci A = 2.
  • De exemplu, dacă doriți să împărțiți 88962 cu 7 folosind diviziunea scrisă, atunci primul pas este similar. V-ați uita la prima cifră a lui 88962 (8) și veți găsi cel mai mare număr care, înmulțit cu 7, este mai mic sau egal cu 8. Acesta este un număr d, astfel încât 7 × d ≤ 8 < 7 x (d + 1). Numărul d va fi egal cu 1.
  • Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pas 20
    6
    Imaginați-vă pătratul a cărui zonă doriți să o calculați. Soluția dvs., rădăcina pătrată a numărului dvs. de pornire, este L, care descrie lungimea unei pagini de S (numărul de pornire). Valorile A, B, C, sunt prevăzute pentru siturile individuale ale L. Cu alte cuvinte, o soluție din două cifre este 10A + B = L, în timp ce + 10B + este o soluție de trei cifre 100A C = L, etc.
  • În exemplul nostru este (10A + B) 2 = L2 = S = 100A 2 + 2 x 10A × B + B 2. 10A + B reprezintă soluția noastră L, cu B în același loc și A pe locul zecea. Cu A = 1 și B = 2, 10A + B ar fi pur și simplu numărul 12. (10A + B) ² este zona întregului pătrat în timp ce 100A² zona celei mai mari piețe interioare, b² aria celui mai mic pătrat și 10A × B aria celor două dreptunghiuri rămase este. Cu ajutorul acestui proces lung, imbricat, găsim zona întregului pătrat prin adăugarea pătratelor și a dreptunghiurilor pe care le conține.
  • Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 21
    7
    Se scade A² de la So. Trageți o pereche (pb) din locurile de jos S. So Sb este aproape întreaga zonă a pătratului din care tocmai ați scos pătratul interior mai mare. Restul poate fi considerat ca numărul N1 pe care l-am primit la pasul 4 (N1 = 380 în exemplul nostru). N1 este 2 × 10A × B + B 2 (suprafața celor două dreptunghiuri plus suprafața micului pătrat).
  • Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 22
    8
    Căutați N1 = 2 × 10A × B + B², de asemenea scris N1 = (2 × 10A + B) × B. În exemplul nostru, știm deja N1 (380) și A (2), deci tot ce trebuie să faceți este să găsiți B. B probabil nu va fi un număr întreg, așa că trebuie de fapt găsiți cel mai mare număr întreg astfel încât (2 × 10A + B) × B ≤N1. Deci ai: N1 < (2 x 10A + (B + 1)) x (B + 1).)
  • Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată de mână Pasul 23
    9
    Release. Pentru a rezolva această ecuație, se înmulțește A cu 2, mutați-l zecimalele (corespunzând unei înmulțirea cu 10), B Place locul celui și multiplica numărul de B. Cu alte cuvinte, solvent (2 x 10A + B) x B Așa faceți atunci când tastați "N_ × _ =" (unde N = 2 × A) în pasul 4 din cvadrantul din dreapta jos. Și la pasul 5, căutați cel mai mare număr întreg B care se potrivește cu sublinierile, astfel: (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
  • Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 24
    10
    Se scade zona (2 × 10A + B) × B din suprafața totală. Aceasta vă oferă zona S- (10A + B) ² pe care nu am considerat-o încă (și pe care o folosim pentru a calcula următoarea locație într-un mod similar).
  • Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 25
    11
    Pentru a calcula următoarea cifră C, repetați această procedură. Ștergeți următoarea pereche de cifre (pc) Din S pentru a obține N2 în partea stângă și căutați pentru cel mai mare număr întreg C, astfel încât: (2 x 10 x (10A + B) + C) x C ≤ N2 (corespunzând reprezentării „AB“, urmată de "_ × _ =" și găsirea celui mai mare număr întreg care se potrivește cu loviturile).

    • Sfaturi

    • Pentru a muta punctul zecimal înainte cu două cifre (factor de 100), se deplasează punctul zecimal al rădăcinii pătrate un loc înainte (factorul de 10).
    • În exemplul nostru, puteți considera 1,73 drept "valoare reziduală": 780.14 = 27.9² + 1.73.
    • Această metodă funcționează pentru fiecare sistem numeric, nu doar baza 10 (zecimal).
    • Puteți personaliza prezentarea calculului dvs. la dorințele dvs. Unii oameni preferă să scrie rezultatul peste numărul de pornire.
    • O metodă alternativă care utilizează fracții continue, următoarea formulă poate urmări: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). De exemplu, Pentru a calcula rădăcina pătrată a 780.14, găsiți numărul întreg al cărui pătrat este cel mai apropiat de 780.14, adică 28. Deci, z = 780.14, x = 28, y = -3.86. Set și veți obține singur cu primul termen x + y / (2x) = 78207/2800, sau aproximativ 27.931 (1) - cu termenul următor, sau aproximativ 4374188/156607 27.930986 (5). Fiecare termen adaugă o precizie suplimentară cu 3 zecimale.

    avertismente

    • Asigurați-vă că împărțiți numerele din zecimal în perechi. Pentru a împărți 79,520,789,182,47897 astfel: "79 52 07 89 18 2.4 78 97 "duce ​​la un număr inutil.
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit