Împărțiți matricile

Dacă știți cum să înmulțiți matrice, sunteți pe cale să vă "împărțiți" o matrice cu alta. Cuvântul este în ghilimele deoarece matricile nu pot fi divizate. Mai degrabă, se înmulțește o singură matrice cu inversiune

conținut

Metodă

Partea 1confirmați că este posibilă divizarea
Partea 2inversați matricea
Partea 3multiplicați matricile pentru a efectua sarcina

Sfaturi
Avertismente

cealaltă matrice. Aceste calcule sunt utilizate în mod normal pentru a rezolva sisteme liniare de ecuații.

metodă

Partea 1
Confirmați că este posibilă divizarea

Imaginea intitulată Divide Matrices Pasul 1

Înțelegerea "divizării" matricelor. De fapt, nu există o diviziune matriceală. Împărțirea unei matrici cu o altă matrice este o funcție nedefinită. Următoarea corespondență este să se înmulțească cu "inversul" unei alte matrice. Cu alte cuvinte, [A] ÷ [B] este nedefinit, dar puteți face sarcina [A] * [B]^-1 rezolva. Deoarece aceste două ecuații sunt echivalente în dimensiunea lor scalară, o "simți" ca o diviziune matrice, dar este important să folosim terminologia potrivită.

Rețineți că [A] * [B]^-1 și [B]^-1 * [A] nu sunt aceeași sarcină. S-ar putea să fie nevoie să rezolvați ambele pentru a găsi toate soluțiile posibile.
De exemplu, scrieți în loc ${ begin {pmatrix} 74 23 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1326 3913 end {$ ${ begin {pmatrix} { begin {pmatrix} 1326 3913 end {pmatrix}} { begin {pmatrix}$ (7423)-1*(13263913){ begin {pmatrix} 74 23 end {pmatrix}} {{{1}calcula ce ar putea avea o altă soluție.

Imaginea intitulă Divide Matrices Pasul 2

Confirmați că "matricea divizorului" este o matrice pătrată. Pentru a lua inversia unei matrici, trebuie să fie o matrice pătrată, cu același număr de rânduri și coloane. Dacă matricea pe care doriți să o inversați nu este o matrice pătrată, nu există o soluție clară la această problemă.

Termenul "matricea de divizare" este un pic vag, deoarece nu este o sarcină divizională. La [A] * [B]^-1 el se referă la matricea [B]. În eșantionul nostru sarcina este ${ displaystyle { begin {pmatrix} 74 23 end {pmatrix}}}$

Imaginea intitulată Divide Matrices Pasul 3

Verificați dacă cele două matrice pot fi multiplicate împreună. Pentru a multiplica două matrice, numărul de linii din prima matrice trebuie să fie egal cu numărul de linii din a doua matrice. Dacă acest lucru nu este făcut în nici un fel, nici în ([A] * [B]^-1 încă la [B]^-1 * [A]) funcționează, nu există nicio soluție pentru sarcină.

De exemplu, [A], atunci când un 4 x 3 matrice (4 rânduri 3 coloane) și [B] a 2 x 2 matrice (2 rânduri 2 coloane), atunci nu există nici o soluție. [A] * [B]^-1 nu se poate face deoarece 3 ≠ 2 și [B]^-1 * [A] nu poate fi executat deoarece 2 ≠ 4.
Rețineți că inversul [B]^-1 Întotdeauna același număr de rânduri și coloane ca matricea originală [B]. Nu trebuie să calculați inversele pentru a efectua acest pas.
În exemplul nostru, ambele matrice sunt 2 x 2, deci pot fi înmulțite în orice ordine.

Imaginea intitulată Divide Matrices Pasul 4

Găsiți determinantul unei matrice 2 x 2. Există o altă cerință pe care trebuie să o verificați înainte de a utiliza inversul unei matrice. Determinantul matricei trebuie să fie nenul. Dacă determinantul este zero, matricea nu are nici o inversă. Deci, veți găsi determinantul în cel mai simplu caz, matricea 2 x 2:

Matricea 2 x 2: Determinantul matricei ${ displaystyle { begin {pmatrix} ab cd end {pmatrix}}}$ este ad - bc. Cu alte cuvinte, luați produsul diagonalei principale (din stânga sus în dreapta jos) și scădeți produsul contra-diagonalului (de sus în partea dreaptă jos).
Matricea ${ displaystyle { begin {pmatrix} 74 23 end {pmatrix}}}$ De exemplu, factorul determinant (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13, care este nenulă, deci este posibil să se găsească un invers.

Imaginea intitulată Divide Matrices Pasul 5

Găsiți determinantul unei matrice mai mari. Dacă matricea dvs. este de 3x3 sau mai mare, factorul determinant necesită un pic mai mult de lucru:

Matricea 3 x 3Selectați un element și glisați rândul și coloana din care acesta aparține. Găsiți determinantul matricei rămase 2 x 2, înmulțiți-o cu elementul selectat și căutați un tabel cu semne de matrice pentru a determina semnul. Repetați acest lucru cu celelalte două elemente din același rând sau coloană ca primul și apoi grupați toți cei trei determinanți împreună. Citiți acest articol pentru un ghid pas-cu-pas și sfaturi pentru a face mai repede.
Matrici mai mari: Este recomandat să utilizați un calculator sau un software cu capacitate grafică. Metoda este similară unei matrice 3x3, dar este laborioasă de mână. De exemplu, pentru a găsi determinantul unei matrice 4 x 4, trebuie să găsiți determinanții a patru matrice 3 x 3.

Imaginea intitulată Divide Matrices Pasul 6

Du-te. Dacă nu este o matrice pătrată sau determinantul este zero, scrieți "nici o soluție unică". Sarcina este finalizată. Dacă este o matrice pătrată și determinantul său este nenul, atunci mergeți la următoarea secțiune: găsiți inversul.

Partea 2
Inversați matricea

Imaginea intitulată Divide Matrices Pasul 7

Schimbați poziția elementelor de pe diagonala principală 2 x 2. Dacă matricea dvs. este de 2 x 2, puteți utiliza o comandă rapidă pentru a face calculul mult mai ușor. Primul pas în această abreviere este de a schimba elementul din stânga sus cu elementul din dreapta jos. De exemplu:

${ displaystyle { begin {pmatrix} 74 23 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 34 27 end {pmatrix}}}$
Atenție: Majoritatea oamenilor folosesc calculatoarele pentru a găsi inversul unei matrice 3x3 sau mai mare. Dacă doriți să o calculați manual, mergeți la sfârșitul acestei secțiuni.

Imaginea intitulată Divide Matrices Step 8

Luați opusul celorlalte două elemente, însă lăsați-le în poziția lor. Cu alte cuvinte, înmulțiți cel superior drepturile și mai mici stânga Element cu -1:

${ displaystyle { begin {pmatrix} 34 27 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3-4 - 27 end {pmatrix}}}$

Imaginea intitulată Divide Matrices Pasul 9

Luați reciprocitatea determinantului. V-ați dat seama de factorul determinant al acestei matrice în zona de mai sus, astfel încât să nu trebuie să o recalculezi. Doar scrieți reciproc 1 / (determinant):

În exemplul nostru, determinantul este 13. Este reciproc 113{ displaystyle { frac {1} {13}}}
4
Înmulțiți noua matrice prin metoda reciprocă a determinantului. Înmulțiți fiecare element al matricei noi cu ajutorul reciprocului pe care tocmai l-ați identificat. Matricea rezultată este inversul matricei 2x2:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3-4 - 27 end {pmatrix}}}$
  = ${ {Stil de afișare begin {pmatrix} { frac {3} {13}} { {} -4 {frac 13}} { frac {-2} {13}} { frac {7} { 13}} end {}}} pmatrix$
5
Confirmați că inversul este corect. Pentru a vă verifica munca, înmulțiți matricea inversă cu matricea originală. Dacă inversul este corect, produsul va fi întotdeauna matricea unității, ${ displaystyle { begin {pmatrix} 10 01 end {pmatrix}}}$ (313-413-213713)*(7423)=(1001){ {Stil de afișare begin {pmatrix} { frac {3} {13}} { {} -4 {frac 13}} { frac {-2} {13}} { frac {7} { 13}} {end pmatrix}} * { begin {} pmatrix 74 23 end pmatrix {} {} = begin {} pmatrix 10 01 end pmatrix {}}}aici veți găsi o reîmprospătare la înmulțirea matricei.
Atenție: Înmulțirea matricelor nu este comutativă: ordinea factorilor este condiționată. Totuși, dacă înmulțiți o matrice cu matricea inversă, ambele opțiuni vor da matricea unității.

Imaginea intitulată Divide Matrices Step 12

Uită-te din nou la inversarea a 3 x 3 Matrices și mai mare. Cu excepția cazului în care învățați pentru prima dată, puteți economisi timp și utilizați un calculator grafic sau un software matematic pe matrice mai mari. Dacă trebuie să o calculați manual, iată un rezumat rapid al unei metode:

Setați matricea unității I în partea dreaptă a matricei. De exemplu, [B] → [B | I]. Matricea unității are elemente "1" de-a lungul elementelor diagonale principale și "0" în toate celelalte poziții.
Faceți pauze de linii pentru a reduce matricea până când partea stângă este în formă de linie și continuați să reduceți până când partea stângă este matricea unității.
Când transformarea este completă, matricea va avea forma [I | B^-1] stand. Cu alte cuvinte, partea dreaptă va fi inversul matricei originale.

Partea 3
Multiplicați matricile pentru a efectua sarcina

Imaginea intitulată Divide Matrices Pasul 13

Notați cele două ecuații posibile. În "matematica obișnuită" cu cantități scalare, multiplicarea este comutativă - 2 x 6 = 6 x 2. Aceasta nu se aplică matricilor, probabil că trebuie să rezolvați două sarcini:

[A] * [B]^-1 este soluția x pentru sarcină x[B] = [A].
[B]^-1 * [A] este soluția x pentru sarcina [B]x = [A].
Dacă face parte dintr-o ecuație, asigurați-vă că faceți același lucru pe ambele părți. Dacă [A] = [C], atunci [B]^-1[A] nu egal cu [C] [B]^-1, pentru că [B]^-1 este pe partea stângă a lui [A], dar pe partea dreaptă a lui [C].

Imaginea intitulă Divide Matrices Step 14

Aflați dimensiunile soluției. Dimensiunile matricei finale sunt dimensiunile exterioare ale celor doi factori. Are același număr de rânduri ca prima matrice și același număr de rânduri ca a doua matrice.

În exemplul nostru original amândouă sunt ${ displaystyle { begin {pmatrix} 1326 3913 end {pmatrix}}}$ de asemenea ${ {Stil de afișare begin {pmatrix} { frac {3} {13}} { {} -4 {frac 13}} { frac {-2} {13}} { frac {7} { 13}} end {}}} pmatrix$ 2 x 2 matrice, deci dimensiunile soluției sunt 2 x 2.
Pentru a face un exemplu mai complicat, spuneți [A] este unul 4 x 3 matrice și [B]^-1 este de 3 ori 3 Matrix. Apoi, matricea are [A] * [B]^-1 dimensiunile 4 x 3.

Imaginea intitulată Divide Matrices Pasul 15

Găsiți valoarea primului element. Consultați articolul pentru instrucțiuni complete sau ajutați-vă la memento-ul cu acest rezumat:

În jurul rândului 1, coloana 1 din [A] [B]^-1 pentru a găsi produsul punct al liniilor [A] linia 1 și [B]^-1 Coloana 1. Aceasta înseamnă că, cu o matrice de 2 x 2, calculați ${ displaystyle a_ {1, 1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ (13263913)*(313-413-213713){ Displaystyle { begin {} pmatrix 1326 3913 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} { frac {3} {13} {} frac {-4} {13} {} frac {-2} {13}} { frac {7} {13}} }}} end {pmatrix(13*313)+(26*-213){ frac {-2} {13}}} { displaystyle (13 * { frac {3} {13}
${ displaystyle = 3 + 4}$
${ displaystyle = -1}$

Imaginea intitulată Divide Matrices Pasul 16

Repetați produsul punct pentru fiecare poziție din matricea dvs. De exemplu, elementul din poziția 2.1 este produsul punct al liniei [A] linia 2 și [B]^-1 Coloana 1. Încercați să finalizați singur exemplul. Ar trebui să obțineți următoarele soluții:

${ Displaystyle { begin {} pmatrix 1326 3913 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} { frac {3} {13} {} frac {-4} {13} {} frac {-2} {13}} { frac {7} {13}} {end pmatrix}} = { begin {pmatrix} -110 7-5 end {pmatrix}}}$
Dacă trebuie să găsiți cealaltă soluție, ${ {Stil de afișare begin {pmatrix} { frac {3} {13}} { {} -4 {frac 13}} { frac {-2} {13}} { frac {7} { 13}} {end pmatrix}} * { begin {pmatrix} 1326 3913 end pmatrix {} {} = begin {pmatrix} -92 193 end {pmatrix}}}$

Sfaturi

Puteți împărți matricea printr-un scalar împărțind fiecare element al matricei prin scalar.
- Matricea ${ displaystyle { begin {pmatrix} 68 24 end {pmatrix}}}$ de exemplu, împărțit la 2 = ${ displaystyle { begin {pmatrix} 34 12 end {pmatrix}}}$

avertismente

Calculatoarele nu sunt întotdeauna exacte 100% atunci când vine vorba de calculele matricelor. De exemplu, dacă calculatorul dvs. vă spune că elementul dvs. este un număr foarte mic (2E^-8 de exemplu), valoarea este foarte probabil 0.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit