Factorizați polinomii de gradul doi (ecuațiile patratice)

Dacă aveți un polinom simplu, puteți determina factorii urmărind îndeaproape. Cu unele practici, de exemplu, mulți matematicieni care exprimă 4x² + 4x + 1 pot fi împărțite în factorii (2x + 1) și (2x + 1), numai pentru că au văzut-o de atâtea ori (cu expresii mai complicate, bineînțeles că acest lucru nu este atât de ușor). Pentru exemplul nostru folosim expresia mai puțin obișnuită:

2

Notați două perechi de paranteze cu câmpuri libere. Veți scrie ulterior constantele pentru fiecare expresie în câmpurile goale:

(x) (x)

3

Completați câmpurile înainte de x cu valori posibile pentru o. Pentru un termen în exemplul nostru, 3x², există o singură posibilitate:

(3x) (1x)

4

Completați câmpurile libere după x cu o pereche de factori pentru constante. Să spunem că vom decide la 8 și 1. Pune-l în:

(3x 8) (X 1)

5

Decideți ce aritmetică (plus sau minus) trebuie să scrieți între variabila x și constanta. Puteți obține aritmetica din aritmetica ecuației de ieșire. Să numim cele două constante pentru cei doi factori B și k:

Dacă toporul² + bx + c, atunci (x + h) (x + k)
Dacă toporul² - bx - c sau ax² + bx - c, atunci (x - h) (x + k)
Dacă toporul² - bx + c, atunci (x - h) (x - k)
Pentru exemplul nostru, 3x² + 2x - 8, semnele aritmetice sunt: ​​(x - h) (x + k), deci avem ca factori:

(3x + 8) și (x - 1)

6

Verificați alegerea dvs. Ca un prim test rapid, verificăm valoarea intermediară. Dacă are o valoare greșită, poate că ai unul greșit c Factorul selectat. Să verificăm rezultatul nostru:

(3x + 8) (x - 1)
Prin multiplicare ajungem la:

3x² - 3x + 8x - 8
Simplificăm această expresie prin adăugarea termenilor (-3x) și (8x), și obțineți:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8
Deci știm că am ales factorii greși:

3x² + 5x - 8 ≠ 3x² + 2x - 8

7

Modificați alegerea dvs. dacă este necesar. Pentru exemplul nostru încercăm acum cu 2 și 4 în loc de 1 și 8:

(3x + 2) (x - 4)
Acum este al nostru c-Termenul a -8, dar produsul exterior / interior (3x * -4) și (2 * x) este -12x și 2x, care împreună nu este cel potrivit b-Randamentele pe termen: + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x

8

Schimbați ordinea, dacă este necesar. Să schimbăm 2 și 4:

(3x + 4) (x - 2)
Acum este al nostru c-Termenul (4 * 2 = 8) este încă bine, dar produsul interior / exterior este -6x și 4x. Dacă combinăm aceste:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2xSuntem deja aproape de valoarea corectă de 2x, este doar semnul greșit.

9

Verificați-vă aritmetica, dacă este necesar. Rămânem la aceeași ordine, dar schimbăm ce valoare are minusul ca semn:

(3x - 4) (x + 2)
c-Termenul este încă fin și produsul exterior / interior este acum (6x) și (-4x). deoarece:

6x - 4x = 2x
2x = 2xSă recunoaștem acum poziția 2x a ecuației noastre inițiale. Deci, acestea trebuie să fie factorii potriviți.

Metoda identifică toți factorii posibili ai o și c Termeni și folosiți-le pentru a determina factorii. Dacă numerele sunt foarte mari sau dacă metoda de ghicire durează prea mult, utilizați această metodă. Să folosim acest exemplu:

2

Găsiți b-Terminați prin factoring și testări. Căutăm două numere, factorii o*c Produsele sunt și împreună împreună b-Termen (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

3

Puneți cele două numere ca sumă b-Termeni în ecuație. Noi folosim din nou k și B pentru aceste numere:

topor² + kx + hx + c
6x² + 4x + 9x + 6

4

Factorizați polinomul prin grupare. Notați ecuația astfel încât să puteți exclude cel mai mare divizor comun (GGT) al primilor doi termeni și ultimii doi termeni. Ambele grupuri facturate ar trebui să fie aceleași. Adăugați GGT și închideți-l cu paranteze. Scrieți-l lângă grupul facturat. Rezultatul este cel al celor doi factori:

6x² + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Similar metodei de descompunere, metoda "triple game" folosește factorii posibili pentru o și c Termen pentru valorile pentru b pentru a determina. Folosim următorul exemplu:

2

Găsiți două numere cu acest număr ca produs și suma egală cu cea b-Termen. Acest pas este același ca și în metoda de descompunere - încercăm și excludem posibilitățile pentru constante. Produsul o și c-Terme este de 16 ani și b-Termenul este de 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

3

Luați aceste două numere și puneți-le în formula "Triple Game". Luați numerele noastre din pasul anterior - să le sunăm din nou B și k - și puneți-le în această formulă:

((ax + h) (ax + k)) / a

Cu aceasta avem:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

4

Recunoașteți care dintre cele două Klammerterme în contor este prin intermediul o pot partaja. În acest exemplu, verificăm dacă (8x + 8) sau (8x + 2) divizează cu 8. (8x + 8) poate fi împărțit la 8, deci îl împărțim o și lăsați celălalt termen așa cum este acesta:

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Ne amintim termenul, care după împărțire o ceea ce rămâne este: (x + 1)

5

Luați cel mai mare divizor comun (GGT) din unul sau ambii termeni, dacă ar exista unul. În acest exemplu, al doilea termen are un GGT de 2, deoarece 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combinați acest răspuns cu termenul din pasul anterior. Acestea sunt factorii dvs.:

2 (x + 1) (4x + 1)

Unii coeficienți în polinoame pot fi identificați ca pătrate sau ca produs al a două numere. Dacă puteți identifica aceste pătrate, puteți factoriza polinomul mult mai rapid. Luați următoarea ecuație:

2

Verificați dacă coeficienții ecuației dvs. sunt pătrate. Pentru această metodă, trebuie să puteți desena rădăcina pătrată a ambilor termeni. (Rețineți că am omis semnul minus - deoarece aceste numere sunt pătrate, ele pot fi produsul unor numere pozitive sau negative).

9x² = 3x * 3x și 4 = 2 * 2

3

Notați factorii. Utilizați rădăcinile pătrate pe care le-ați găsit. Luăm asta o și c Valoarea de la pasul superior - o = 9 și c = 4, găsim rădăcina pătrată - √o = 3 și √c = 2. Acestea sunt coeficienții pentru expresia factorizată:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Dacă totul nu funcționează, utilizați formula patratică. Să luăm exemplul următor:

2

Se dizolvă după x. Ar trebui să obțineți două valori pentru x. Așa cum am arătat mai sus, primim două răspunsuri:


x = -2 + √ (3) sau x = -2 - √ (3)

3

Utilizați valorile x pentru a determina factorii. Introduceți valorile x în două polinoame ca constante. Acestea sunt factorii dvs. Dacă avem răspunsurile noastre B și k sunați, scriem factorii noștri, cum ar fi:

(x - h) (x - k)
În acest caz, soluția noastră este:

(x - (2 + √ (3)) (x - (2 - √ (3)

Dacă aveți permisiunea de a utiliza unul, un calculator grafic face factoring mult mai ușor, în special în teste standardizate. Acești pași sunt pentru un calculator grafic TI. Folosim această ecuație:

2

Desenați graficul pe calculator. După introducerea ecuației, apăsați [GRAPH] - ar trebui să vedeți un arc neted care reprezintă ecuația (și este un arc pentru că ne bazăm pe un polinom).

3

Găsiți punctul în care arcul intersectează axa X. Deoarece polinomii sunt în mod tradițional în formă de topor² + bx + c = 0, acestea sunt cele două valori x care fac ecuația zero:

(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2

• Dacă nu puteți determina exact unde graficul intersectează axa X, apăsați [2] și apoi [TRACE]. Apăsați [2] sau selectați zero. Mutați cursorul în partea stângă a unei intersecții și apăsați pe [ENTER]. Mutați cursorul în partea dreaptă a unei intersecții și apăsați pe [ENTER]. Mutați cursorul cât mai aproape de intersecție și apăsați [ENTER]. Calculatorul calculează valoarea x. Faceți același lucru pentru celălalt punct de intersecție.

4

Introduceți valorile x găsite în două expresii facturate. Dacă luăm cele două valori x B și k folosim următoarele expresii:

(x - h) (x - k) = 0
Deci, cei doi factori sunt:

(x - (1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)