DifiTsi.com

Rezolvați o ecuație cubică

Când obțineți prima ecuație cubică (care este forma topor

3 + bx2 + cx + d = 0), poate părea aproape insolubil pentru tine. De fapt, metoda de rezolvare a ecuațiilor cubice a existat de secole! Descoperit în secolul al XVI-lea de către matematicienii italieni Niccolò Tartaglia și Gerolamo Cardano, acesta a fost unul dintre primele formule necunoscute vechilor greci și romani. Rezolvarea ecuațiilor cubice poate fi destul de dificilă, dar cu abordarea corectă (și o bună cunoaștere de bază), chiar și cea mai dificilă ecuație cubică poate fi depășită.

metodă

Metoda 1
Rezolvați cu formula pătrată

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 1
1
Verificați dacă ecuația dvs. cubică conține o constantă. După cum sa menționat mai sus, ecuațiile cubice au forma topor3 + bx2 + cx + d = 0. b, c și d poate fi 0 și e încă o ecuație cubică - înseamnă că o ecuație cubică nu are toți termenii bx2, cx sau d trebuie să conțină astfel încât să fie o ecuație cubică. Pentru a începe cu această metodă relativ simplă de rezolvare a ecuațiilor cubice, verificăm că ecuația este o constantă (adică o valoare d) are. când nu, putem folosi ecuatii patrate pentru a determina solutia dupa ce am facut un pic de pregatire matematica.
  • Dacă, totuși, ecuația noastră este o constantă conține, trebuie să folosim o metodă diferită de soluție. Vedeți mai jos pentru abordări alternative.
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 2
    2
    Închideți unul x din ecuație. Deoarece ecuația nu are o constantă, fiecare termen din ecuație conține variabila x. Asta înseamnă a x pot fi excluse din ecuație pentru ao simplifica. Faceți-o și rescrieți ecuația în formă x(topor2 + bx + c).
  • Să presupunem că ecuația noastră cubică inițială este de 3x3 + -2x2 + 14x = 0. Dacă suntem unul x excluși din ecuație x(3x2 + -2x + 14) = 0.
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 3
    3
    Utilizăm formula patratică pentru a rezolva partea în paranteze. S-ar putea să fi observat că partea din noua noastră ecuație este cuprinsă în paranteze ale unei ecuații patratice (topor2 + bx + c) corespunde. Aceasta este, putem determina valorile pentru care această ecuație patratică este egală cu zero prin luare a, b și c în formula patratică ({-b +/ -√ (b2- 4AC)} / 2oInserare). Fa-o pentru a găsi două dintre soluțiile ecuației cubice.
  • În exemplul nostru, setăm valorile pentru a, b și c (3, -2 și 14) în ecuația patratică după cum urmează:
    {-b +/ -√ (b2- 4AC)} / 2o
    {- (-2) +/- √ ((-2)2- 4 (3) (14))} / 2 (3)
    {2 +/- √ (4 - (12) (14)} / 6
    {2 +/- √ (4 - (168)} / 6
    {2 +/- √ (-164)} / 6
  • Soluția 1:
    {2 + √ (-164)} / 6
    {2 + 12,8eu} / 6
  • Soluția 2:
    {2 - 12,8eu} / 6
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 4
    4
    Luăm zero și soluțiile patrate ca soluții ale ecuației cubice. În timp ce ecuațiile patrate au două soluții, ecuațiile cubice au trei. Avem deja două soluții - soluțiile pe care le-am obținut în paranteze pentru partea "patratică" a sarcinii. În cazurile în care ecuația este potrivită pentru rezolvarea acestei metode de excludere, a treia soluție este întotdeauna 0. Felicitări - tocmai v-ați rezolvat ecuația cubică.
  • Motivul pentru care acest lucru are de a face cu un fapt de bază că unul ori de câte ori zero este egal cu zero este de făcut. Dacă punem ecuația în formă x(topor2 + bx + c) = 0, apoi îl împărțim în esență în două "jumătăți": o jumătate este x-Variabila pe partea stângă și cealaltă este partea pătrată în paranteze. Dacă una dintre aceste "jumătăți" este egală cu zero, atunci ecuația totală este zero. Prin urmare, cele două soluții ale părții patratice din paranteze care nulă această "jumătate" sunt soluții ale ecuației cubice, precum și 0 în sine, ceea ce face ca stânga "jumătate" zero.

    • Metoda 2
    Determinați soluțiile întregi cu subliste

    Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 5
    1
    Asigurați-vă că ecuația cubică conține o constantă. În timp ce procedura de mai sus este convenabilă pentru că nu trebuie să înveți niciun fel de abilități matematice noi pentru ao folosi, nu vă ajută neapărat să rezolvați toate ecuațiile cubice. Dacă ecuația ta este în formă topor3 + bx2 + cx + d = 0 este o valoare non-zero pentru d atunci trucul de exclamare de mai sus nu funcționează și trebuie fie să folosim metoda din această secțiune, fie cea de mai jos pentru a rezolva.
    • Să presupunem că luăm în considerare ecuația 2x3 + 9x2 + 13x = -6. În acest caz, pentru a obține un 0 în partea dreaptă a semnalului egal, trebuie să adăugăm 6 la ambele părți. În noua noastră ecuație 2x3 + 9x2 + 13x + 6 = 0 d = 6 și nu putem folosi trucul de exclamare de mai sus.
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 6
    2
    Determinați divizorii o și d. Pentru a rezolva ecuația cubică, mai întâi căutăm divizii o (coeficientul x3-Termeni) și d (constanta la sfarsitul ecuatiei). Ca un memento, divizorii sunt numerele care s-au înmulțit împreună producând un număr diferit. De exemplu, deoarece putem obține 6 prin înmulțirea 6 și 1 și 2 și 3, 1, 2, 3 și 6 sunt divizii de 6.
  • În exemplul nostru sarcina este o = 2 și d = 6. Divizoarele de 2 sunt 1 și 2. Divizorii de 2 sunt 1, 2, 3 și 6.
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 7
    3


    Împărțiți divizorii lui o prin divizii d. Apoi, vom crea o listă a valorilor pe care le obținem când împărțim fiecare divizor o prin fiecare divizor al lui d cota. De obicei, obținem multe fracții și câteva numere întregi. Soluțiile întregi ale ecuației noastre cubice sunt fie una dintre numerele întregi din listă, fie cea negativă a acestor numere.
  • Dacă folosim divizorii ecuației noastre o (1, 2) pe divizoarele d (1, 2, 3, 6), primim lista: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 și 2/3. Apoi, adăugați valorile negative în listă pentru ao completa: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 și -2/3. Soluțiile întregi ale ecuației noastre cubice sunt undeva în această listă.
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 8
    4
    Utilizați schema Horner (divizare sintetică) sau verificați manual soluțiile. Odată ce avem lista de valori, putem determina soluțiile întregi ale ecuației cubice prin plasarea fiecărei valori întregi în ecuația cubică și verificarea acelora care fac ecuația zero. Cu toate acestea, dacă nu doriți să vă petreceți timpul folosind inserarea manuală, există o modalitate ușor mai rapidă de ao face utilizând schema Horner. În principiu înseamnă că valorile întregului sunt determinate de coeficienții originali a, b, c și d a împărțit ecuația cubică. Dacă obținem un rest 0, atunci valoarea este una dintre soluțiile ecuației cubice.
  • Schema Horner este un subiect complex - consultați linkul de mai sus dacă doriți să aflați mai multe. Iată un exemplu de găsire a uneia dintre soluțiile pentru ecuația cubică folosind schema Horner:
    -1 | 2 9 13 6
    __ | -2-7-6
    __ | 2 7 6 0
    Deoarece avem un rest de 0, știm că una dintre soluțiile întregi ale ecuației noastre cubice -1 este.

    • Metoda 3
    Cu abordarea "discriminantă"

    Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 9
    1
    Scrieți valorile a, b, c, și d out. În această metodă de rezolvare a unei ecuații cubice, lucrăm din greu cu coeficienții termenilor din ecuația noastră. Din acest motiv, este recomandabil să citiți valorile a, b, c, și d să scriem înainte de a începe, așa că nu ne amestecăm.
    • De exemplu, scriem pentru ecuație x3 - 3x2 + 3x - 1 asta o = 1, b = -3, c = 3 și d = -1. Nu uitați: dacă o variabilă x nu are coeficient, se presupune implicit că coeficientul este 1.
  • Imaginea cu titlul Rezolva o ecuație cubică Pasul 10
    2
    Calculați Δ0 = b2 - 3AC. Abordarea discriminantă pentru rezolvarea unei ecuații cubice necesită matematică complicate, dar dacă o faci cu atenție, veți observa că el este un instrument valoros în rezolvarea ecuațiilor cubice, care altfel ar fi dificil de rezolvat. Mai întâi determina Δ0, prima dintre numeroasele cantități importante de care avem nevoie prin punerea valorilor corespunzătoare în formula b2 - 3AC începe.
  • În exemplul nostru, o calculam astfel:
    b2 - 3AC
    (-3)2 - 3 (1) (3)
    9 - 3 (1) (3)
    9 - 9 = 0 = Δ0
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 11
    3
    Calculați Δ1 = 2b3 - 9ABC + 27o2d. Următoarea cantitate importantă de care avem nevoie, Δ1, este un pic mai complexă, dar este practic calculată similar cu Δ0. Introduceți valorile corespunzătoare în formula 2b3 - 9ABC + 27o2d pentru a obține valoarea pentru Δ1.
  • În exemplul nostru, o calculam astfel:
    2 (-3)3 - 9 (1) (- 3) (3) + 27 (1)2(-1)
    2 (-27) - 9 (-9) + 27 (-1)
    -54 + 81 - 27
    81 - 81 = 0 = Δ1
  • Imaginea cu titlul Rezolvați o ecuație cubică Pasul 12
    4
    Calculați Δ = (Δ12 - 4Δ03): -27o2. Apoi vom calcula discriminantă ecuația cubică de la valorile Δ0 și Δ1. Un discernământ este pur și simplu un număr care ne oferă informații despre rădăcinile unui polinom (poate știți deja, fără să știți, discriminantul patrat: b2 - 4AC). Dacă discriminantul este pozitiv pentru o ecuație cubică, atunci ecuația are trei soluții reale. Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația are una sau două soluții reale, iar unele soluții au o multiplicitate mai mare. Dacă este negativă, atunci ecuația are doar o singură soluție (o ecuație cubică are întotdeauna cel puțin o soluție reală, deoarece graficul intersectează x-Axa este întotdeauna cel puțin o dată).
  • Deoarece atât Δ0 cât și Δ1 sunt zero în exemplul nostru, calculul Δ este foarte ușor. O facem astfel:
    (Δ12 - 4Δ03): -27o2
    ((0)2 - 4 (0)3): -27 (1)2
    (0-0): 27
    0 = Δ, și astfel ecuația noastră are una sau două soluții.
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 13
    5
    calcula C = 3(√ (√ (Δ12 - 4Δ03) + Δ1) / 2). Ultima dimensiune importantă pe care trebuie să o calculam este C. Această dimensiune importantă ne permite în cele din urmă să calculați cele trei soluții. calcula C destul de normal, și folosiți Δ1 și Δ0.
  • În exemplul nostru, calculam C după cum urmează:
    3(√ (√ (Δ12 - 4Δ03) + Δ1) / 2)
    3(√ (√ (02 - 4 (0)3) + (0)) / 2)
    3√ (√ ((0 - 0) + (0)) / 2)
    0 = C
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 14
    6
    Calculați cele trei soluții cu coeficienții dvs. Soluțiile ecuației cubice sunt date de formula (b + unC + (Δ0 /unC)) / 3o, în care u = (-1 + √ (-3)) / 2 și n fie 1, 2 sau 3. Folosiți-vă valorile și calculați totul - este nevoie de o mulțime de lucruri matematice, dar ar trebui să obțineți trei soluții valide!
  • În exemplul nostru, putem calcula soluțiile verificând soluțiile pentru n egale cu 1, 2 sau 3. Soluțiile pe care le primim sunt soluțiile posibile pentru ecuația noastră cubică - dacă puneți o soluție în ecuație și rezultatul este zero, atunci este o soluție corectă. De exemplu, dacă avem un rezultat în unul dintre teste și în x3 - 3x2 + 3x - 1, atunci primim 0, și asta este 1 una dintre soluțiile ecuației noastre cubice.
    • Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit