Configurați o funcție exponențială la o anumită rată și la valoarea inițială

Forma de bază. Forma unei funcții exponențiale este f (t) = P₀(1 + r)^{t / h}, unde P₀ valoarea inițială, t variabila de timp, r rata și h este un factor necesar pentru a se asigura că unitatea de t se potrivește cu unitatea ratei.

Determinați h. Gândiți-vă la funcția dvs. În fiecare an, capitalul crește cu 3%, adică la fiecare 12 luni, capitalul crește cu 3%. Dacă doriți să specificați t în luni, trebuie să împărțiți t la 12, deci h = 12. Ecuația funcției este f (t) = 1,000 * 1,03^{t / 12}. Dacă unitățile pentru rata și creșterile de timp sunt aceleași, atunci h este întotdeauna 1.

Să ne uităm la un exemplu. De exemplu, presupuneți că o probă de 500 g dintr-un izotop de carbon are un timp de înjumătățire de 50 de ani (timpul de înjumătățire este timpul după care jumătate din material sa degradat).

Forma de bază. Forma unei funcții exponențiale este f (t) = ae^kt, unde a este valoarea inițială, e este baza, k este rata de creștere continuă și t este variabila de timp.

Setați valoarea inițială. Singura valoare implicită de care aveți nevoie pentru această funcție este valoarea inițială. Așa că îl folosim pentru a obține f (t) = 500e^kt

Determinați rata de creștere continuă. Rata de creștere continuă indică cât de repede se schimbă curba la un moment dat. Știm că, în 50 de ani, vor rămâne doar 250 g din eșantion. Putem lua asta ca punct pe curba pe care o putem pune în acțiune. Deci t = 50. Noi o folosim și obținem f (50) = 500e^50k. De asemenea, știm că f (50) = 250, deci înlocuim f (50) cu 250 în stânga și obțineți ecuația exponențială 250 = 500e^50k. Pentru a rezolva ecuația pentru k, împărțiți ambele părți mai întâi cu 500 și obțineți 1/2 = e^50k. Apoi aplicăm logaritmul natural pe ambele părți și obținem ln (1/2) = ln (e^50k. Folosind proprietățile logaritmului, putem extrage exponentul din logaritm și putem înmulți cu el. Rezultatul este ln (1/2) = 50k (ln (e)). Memento: Inseamna jurnal_e, iar proprietățile logaritmului arată că dacă baza și argumentul sunt egale, atunci valoarea este 1. Prin urmare, ln (e) = 1. Astfel, ecuația simplifică la ln (1/2) = 50k. Dacă divizăm cu 50, obținem k = (ln (1/2)) / 50. Folosind un calculator, vedem că k este de aproximativ -0,01386. Rețineți că această valoare este negativă. Dacă rata de creștere continuă este negativă, atunci avem o scădere exponențială, dacă este pozitivă, atunci avem o creștere exponențială.