Calculați valorile așteptate

Fie x rezultatul pe care dorim să-l determinăm. Să presupunem că vrem să aflăm de câte ori trebuie să aruncăm o monedă în medie, până când două capete se ridică la rând. Vom dezvolta o formulă care ne ajută să calculam rezultatul. Rezultatul căutării, numărul mediu de rulouri de monede, se numește x. Vom dezvolta formula pas cu pas. Până acum avem:

• x = ___

Ce se întâmplă atunci când este primul număr de așternut? Dacă rolați o monedă, atunci în jumătate de timp prima rolă va fi numărul. Dacă se întâmplă acest lucru, am "risipit" o rolă, în timp ce șansa de a arunca capetele de două ori în spatele celuilalt nu sa schimbat. La fel ca înainte de această aruncare a monedei, ne așteptăm să facem un număr mediu de aruncări de monede înainte de a veni de două ori pe cap. Cu alte cuvinte, ne așteptăm să aruncăm o altă monedă de x ori, plus cea pe care tocmai am aruncat-o. Dacă vrem să scriem "în jumătate din toate încercările trebuie să faci x rulouri de monede plus 1" în formula, atunci arata astfel:

• x = (0,5) (x + 1) + ___
• Vom umple spațiul gol în timp ce vom continua să ne gândim la alte situații.
• Puteți folosi fracții în loc de zecimale, dacă acest lucru este mai ușor pentru dvs. 0.5 este același cu 1/2.

Ce se întâmplă când este primul cap de așternut? Probabilitatea este de 0,5 (sau 1/2) pe care prima așternută arată capul. Deci, suntem mai aproape de obiectivul nostru de a arunca capetele de două ori în spatele celuilalt, dar cât de mult mai aproape? Cel mai simplu mod de a afla acest lucru este să vă gândiți la ce se poate întâmpla la a doua aruncare:

• Dacă a doua rolă este Number, atunci ne întoarcem la început, dar am pierdut două aruncări.
• În cazul în care al doilea litter este cap, am terminat!

Cum se calculează probabilitatea ca două evenimente să ajungă? Știm că într-o monedă aruncați o probabilitate de a arunca un cap este de 0,5, dar care este probabilitatea două Münzwürfe ambele cap rezultat? Pentru a determina probabilitatea apariției a două evenimente independente, multiplicați cele două probabilități individuale. În acest caz, este de 0,5 * 0,5 = 0,25. Aceasta este, de asemenea, probabilitatea de a arunca mai întâi capul și apoi numărul, deoarece aceste două au o probabilitate de 0,5: 0.5 * 0.5 = 0.25.

Adăugați rezultatul pentru "primul cap, apoi numărul" în formula. Acum că știm probabilitatea acestui eveniment, putem extinde formula noastră. Există o probabilitate de 0,25 (sau 1/4) că pierdem două litri fără să ne apropiem de obiectivul nostru. Cu aceeași logică pe care am folosit-o înainte, când ne-am gândit la ceea ce se întâmplă atunci când prima rolă este numărul, avem încă nevoie de alte x rulouri în medie pentru a ajunge la scorul nostru, plus cele 2 pe care le avem deja au aruncat. Pentru formula noastră, aceasta înseamnă (0,25) (x + 2) pe care o putem adăuga:

• x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___

Adăugați rezultatul pentru "cap, cap" în formula. Dacă ajungem la cap, du-te pe primele două aruncări, atunci am terminat. Am ajuns la obiectiv cu exact două litri. După cum am calculat deja, probabilitatea pentru acest eveniment este de 0,25, deci adăugăm (0,25) (2) la formula. Acum este completă:

• x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0,25) (2)
• Dacă nu sunteți sigur dacă v-ați gândit la tot felul de cazuri, atunci există o modalitate ușoară de a verifica dacă formula este completă. Primul număr din fiecare summand al formulei reprezintă probabilitatea ca acest eveniment să aibă loc. Ar trebui să adăugați întotdeauna până la 1. Aici avem 0.5 + 0.25 + 0.25 = 1, deci putem fi siguri că ne-am gândit la toate cazurile

Simplificați formula. Să simplificăm formula prin înmulțirea acesteia. Dacă veți vedea paranteze în acest aranjament: (0.5) (x + 1), atunci putem multiplica 0.5 după fiecare termen în al doilea bracket și obțineți 0.5x + (0.5) (1) sau 0, 5x + 0,5. Să facem acest lucru cu toți termenii și apoi să le punem împreună pentru a face cât mai ușor posibil:

• x = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)
• x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
• x = 0,75x + 1,5

Se dizolvă după x. Ca și în cazul oricărei alte ecuații, dacă doriți să determinați x, trebuie să puneți x pe o parte a ecuației. x a însemnat "numărul mediu de aruncări de monede care trebuie să aruncăm capul de două ori în spatele celuilalt". Dacă am calculat x, atunci avem rezultatul nostru.

• x = 0,75x + 1,5
• x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
• 0,25x = 1,5
• (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
• x = 6
• În medie, trebuie să vă așteptați să aruncați moneda de șase ori, până la două capete în spatele celuilalt.

Evenimente independente. În viața de zi cu zi, este ușor să crezi că ai o zi norocoasă, când se întâmplă câteva lucruri bune și putem crede că seria norocoasă continuă și se întâmplă mai multe lucruri bune. În mod alternativ, s-ar putea să ne gândim că astăzi am avut destule norocuri și de aceea nu mai există lucruri rele pentru o vreme. Din punct de vedere matematic, lumea nu funcționează în acest fel. Dacă aruncați o monedă normală, atunci cotele sunt întotdeauna exact 1/2 pentru a obține un cap și 1/2 pentru a obține un număr. Nu contează dacă ultimele 20 de aruncări au fost toate capete sau cozi sau un amestec de ambele: Următoarea aruncare a monedei vă va oferi exact aceleași șanse din nou. Aruncarea monedei este "independentă" de celelalte aruncări de monede, nu este influențată de acestea.

• Convingerea că aveți o lovitură norocoasă sau norocoasă pe aruncările de monede (sau alte evenimente aleatorii independente), sau Eroarea jucatorului este numita eroarea jucatorului, ca deja ai "consumat ghinion" si acum ai rezultate bune. Expresia provine din tendința oamenilor de a lua decizii riscante sau stupide atunci când consideră că au o "șansă norocoasă" sau când cred că "norocul lor se transformă".